解答题对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1

解答题 对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N）．对自然数k，规定{△kan}为{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an）．
（1）已知数列{an}的通项公式an=n2+n（n∈N），试判断{△an}，{△2an}是否为等差或等比数列，为什么？
（2）若数列{an}首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N），求数列{an}的通项公式．
（3）（理）对（2）中数列{an}，是否存在等差数列{bn}，使得b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=an对一切自然n∈N都成立？若存在，求数列{bn}的通项公式；若不存在，则请说明理由．

解：（1）△an=an+1-an=（n+1）2+（n+1）-（n2+n）=2n+2，
∴{△an}是首项为4，公差为2的等差数列．△2an=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴{△2an}是首项为2，公差为0的等差数列；
也是首项为2，公比为1的等比数列．
（2）∵△2an-△an+1+an=-2n，即△an+1-△an-△an+1+an=-2n，
即△an-an=2n，∴an+1=2an+2n，∵a1=1，
∴a2=4=2×21，a3=12=3×22，a4=32=4×23，猜想：an=n?2n-1，
证明：ⅰ）当n=1时，a1=1=1×20；ⅱ）假设n=k时，ak=k?2k-1；
n=k+1时，ak+1=2ak+2k=k?2k+2k=（k+1）?2（k+1）-1结论也成立，
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，an=n?2n-1．
（3）b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=an，即b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=n?2n-1，
∵1Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n（Cn-10+Cn-11+Cn-12+…+Cn-1n-1）=n?2n-1，
∴存在等差数列{bn}，bn=n，使得b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=an对一切自然n∈N都成立．解析分析：（1）先根据定义可得△an=an+1-an，把an=n2+n代入整理，根据等差及等比数列的定义判断{△an}是否为等差数列或等比数列，同理可判断{△2an}是否为等差或等比数列．（2）根据题中的定义可把已知转化为△an+1-△an-△an+1+an=-2n，整理可得an+1=2an+2n，利用递推关系及a1=1计算a2，a3，a4，然后进行猜想an，再利用数学归纳法进行证明（3）结合组合数的性质：1Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n（Cn-10+Cn-11+Cn-12+…+Cn-1n-1）=n?2n-1，进行求解点评：本小题以新定义为载体主要考查等差数列、等比数列的定义的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法．还考查了把新的定义转化为利用所学知识进行求解的能力．

这个问题的回答的对

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