等差数列求和问题
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- 提问者网友：做自己de王妃
- 2021-01-28 03:23
等差数列求和问题
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- 五星知识达人网友：梦中风几里
- 2021-01-28 04:15
1）如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项起或从第4项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项起或第3项起是一个等差数列．
（2）一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这个常数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉．
（3）求公差d时，可以用d=an-an-1，也可以用d=an+1-an．
（4）公差d∈R，d=0时，数列为常数列；d>0时，数列为递增数列；d<0时，数列为递减数列．
（5）d=an-an-1或d=an+1-an是证明或判断一个数列是等差数列的依据．
2．等差数列的通项公式
（1）通项公式为an=a1+（n-1）d，a1为首项，d为公差．
（2）推导通项公式
下面用几种方法推出等差数列的通项公式：
解法一：（叠加法）
∵{an}为等差数列，则有an-an-1=d，a n-1-a n-2=d，an-2-an-3=d，…，a2-a1=d，以上各式两边相加，得an-a1=（n-1）d．
∴an=a1+（n-1）d．
解法二：（叠代法）
∵{an}为等差数列，则有an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+（n-1）D．
解法三：（逐差法）
∵{an}为等差数列，则有an=an-an-1+a n-1，a n-1=a n-1-an-2+a n-2，a n-2=a n-2-an-3+an-3，…，a2=a2-a1+a1，
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+…+（a2-a1）+a1=（n-1）d+a1.
∴an=a1+（n-1）d．
（3）通项公式的变形
对任意的p，q∈N*，在等差数列中，有ap=a1+（p-1）d，aq=a1+（q-1）d，∴ap-aq=（p-q）D．∴ap=aq+（p-q）D．
通项公式的变形为ap=aq+（p-q）d，请记熟，它在解题中经常被应用．
（4）通项公式的应用
①可以由首项和公差求出等差数列中的任一项．
②已知等差数列的任两项，可以确定等差数列的任一项．
（5）等差数列的图象
由通项公式an=a1+（n-1）d，可得an=dn+（a1-d），如果设p=d，q=a1-d，那么an=pn+q，其中p，q为常数，当p≠0时，an是关于n的一次函数，即（n，an）在一次函数y=px+q的图象上，因此从图象上看，表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上．例如首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为an=2n-1，相应的图象是直线y=2x-1上的均匀排开的无穷多个孤立的点．
总之，公差不为0的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点；当公差为0时，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上的均匀排开的一群孤立的点．
3．等差中项
若a，b，c成等差数列，则b= ，2b=a+c，b-a=c-b，a-b=b-c都是等价的．
用递推关系an+1= （an+an+2）给出的数列也是等差数列，an+1称为an、an+2的等差中项．
4．等差数列常用性质
若数列{an}是公差为d的等差数列，
（1）d=0时，数列为常数列；d>0时，数列为递增数列；d<0时，数列为递减数列．
（2）d= = （m，n，k∈N*）．
（3）an=am+（m-n）d（m，n∈N*）．
（4）若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则am+an=ap+aq．
（5）若 =k，则am+an=2ak（m，n，k∈N*）．
（6）数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=…．
（7）数列{λan+b}（λ，b是常数）是公差为λd的等差数列．
（8）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…（k，m∈N*）组成公差为md的等差数列．
（9）若数列{bn}也为等差数列，则{an±bn}，{kan+bn}（k，b为非零常数）也成等差数列．
（10）{an}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列（首项不一定能够选a1）．
（11）{an}是等差数列，则a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9，…仍成等差数列．
课外讨论
问题1：已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p，q为常数，且p≠0，问这个数列一定是等差数列吗？
探究：判断{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是an-a n-1（n>1）是不是一个与n无关的常数．
取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1（n>1），求差得an-an-1=（pn+q）-〔p（n-1）+q〕=pn+q-pn+p-q=p．
它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列．
问题2：怎样判断一个数列是等差数列？
探究：根据等差数列的定义可知，一个数列是否为等差数列，要看任意相邻两项的差是否为同一个常数．由本例的结论可知，如果an是关于n的一次式，那么由通项公式an=a1+（n-1）d，可得an=dn+（a1-d）．
如果设p=d，q=a1-d，那么an=pn+q．
当p≠0时，an是关于n的一次函数，即（n，an）在一次函数y=px+q的图象上．因此，公差不为0的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点；当公差为0时，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上的均匀排开的一群孤立的点．
等差数列的判定方法：
（1）an+1-an=d（常数）（n∈N*） {an}是等差数列．
（2）2an+1=an+an+2（n∈N*） {an}是等差数列．
（3）an=kn+b（k，b为常数） {an}是等差数列．
（4）an-an-1=d（常数）（n≥2且n∈N*） {an}是等差数列．
例题精讲
例1．已知数列{an}为等差数列，且a5=11，a8=5，则an=__________．
解题思路
要求an必须知道a1和d，根据已知的a5=11和a8=5可以列出两个关于a1与d的方程，解此方程组即可求解a1、d的值.
设数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式及已知得
解得
∴an=19+（n-1）（-2），即an=-2n+21．
答案：-2n+21
解题关键
先根据两个独立的条件解出两个量a1和d，进而再写出an的表达式．几个独立的条件就可以解出几个未知量，这是方程思想的重要应用．
例2．已知数列的通项公式为an=6n-1，问：这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？
解题思路
判断一个数列是否为等差数列，要根据等差数列的定义，只需判断an+1-an是否为常数．如为常数，此数列即为等差数列，否则就不是.
解：∵an+1-an=〔6（n+1）-1〕-（6n-1）=6为常数，
∴{an}为等差数列，其首项为a1=6×1-1=5，公差为6．
解题关键
根据定义解题是最基本的途径，只有把握了定义的实质，才能得心应手的去运用它．拓展到利用其他一些引申的性质也可以解决问题.
例3．数列{an}的各项的倒数组成一个等差数列，若a3=2-1，a5=2+1，求a11．
解题思路
∵{ }成等差数列，设其公差为d，首项为 ，然后由通项公式即得d和 ，代入通项公式可求a11．
解：设等差数列为{bn}，公差为d．
由已知得b3= = = +1，b5= = = -1．
∴ 解得
∴b11=b1+10d=2-7．
∴a11= = = ．
解题关键
在解题过程中要注意到 - =-1，即an+1= ，此类递推公式的数列，可转化为等差数列，进而求出数列的通项公式．
例4．在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这5个数成等差数列，则这个数列为_______．
解题思路
此题可求出公差后，再逐项求解，也可以利用等差数列的性质求解．如将-1看成此等差数列的第一项，那么7为此数列的第5项.根据等差数列性质可求出公差，然后可求插入的数为何值.
设这5个数组成的等差数列为{an}，由已知a1=-1，a5=7，7=-1+（5-1）d．
解得d=2，所求数列为-1，1，3，5，7．
答案：-1，1，3，5，7
例5．在等差数列{an}中，已知a2+a3+a10+a11=36，求a5+a8的值．
解题思路
根据题中给出等式可以得出此数列的首项a1与公差d之间的关系式，但求出a5+a8仍有困难，所以要将a5+a8变形，用a1与d来表示，即可得出结论.
解：根据题意，有（a1+d）+（a1+2d）+（a1+9d）+（a1+10d）=36，∴4a1+22d=36.
又∵a5+a8=a1+4d+a1+7d=2a1+11d，∴a5+a8=18.
解题关键
此解法设出了a1、d，但并没有求出a1、d，事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中常用，它体现了整体的思想．此题还可以运用等差数列的性质：若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则am+an=ap+aq．则有a5+a8=a2+a11=a3+a10，从而易求出a5+a8=18.
例6．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
解题思路
此题常规方法是利用已知条件，先求出首项和公差，进而求出这四个数．其实因这里成等差数列的四个数之和已知，故可设此四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，这样求解更为便利，但必须注意这时的公差应为2d．
解：设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，则由题意得
即
解得 或，
∴所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2．
解题关键
此题设法很重要，一般有如下规律：
（1）若所给等差数列为2n（n∈N*）项，则可设为
a-（2n-1）d，…，a-3d，a+d，a+3d，…，a+（2n-1）d，数列的公差为2d．
（2）若所给等差数列为2n+1（n∈N*）项，则可设为
a-（n-1）d，…，a-d，a，a+d，…，a+（n-1）d，数列的公差为d．
例7．若数列{an}为等差数列，ap=q，aq=p（p≠q），则ap+q为 （ ）
A．p+q B．0 C．-（p+q） D．
解题思路
本题可用通项公式求解，也可利用an=am+（n-m）d求解，还可利用一次函数的图象求解．
不妨设p
由△ABE∽△BCF，得 = .
∴ = ．
∴ =1．
∴m=0．
∴应选B．
答案：B
图2-2-1
解题关键
设{an}是公差为d的等差数列，那么an=am+（m-n）d或d= （m，n∈N*）．本性质是通项公式的推广，通常适用“已知等差数列某一项（或某几项），求数列中的另一项”一类的题目．应用性质时，应注意n与m的大小关系不确定，当n≤m时，性质仍然成立．
自我训练
达标训练
1．已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n，则它的公差为 （ ）
A．2 B．3
C．-2 D．-3
思路分析：由an-an-1=d或用特殊值求出a1，a2，则a2-a1=d．
答案：C
2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于 （ ）
A．30° B．60°
C．90° D．120°
思路分析：由A、B、C成等差数列，得A+C=2B，再根据三角形内角和为180°可求解．
答案：B
3．数列{an}的通项公式an=2n+5，则此数列 （ ）
A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列
思路分析：通项公式为an=pn+q的数列是等差数列，公差为p，首项为p+q．
答案：A
4．已知等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则ca1，ca2，ca3，…，can（c为常数，且c≠0）是 （ ）
A．公差为d的等差数列 B．公差为cd的等差数列
C．非等差数列 D．以上都不对
思路分析：由an-an-1=d，得can-can-1=c(an-an-1)=cd．
答案：B
5．在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，则a101的值为 （ ）
A．49 B．50
C．51 D．52
思路分析：先判断数列{an}为等差数列，公差为 ，再由通项公式求a101．
答案：D
6．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为 （ ）
A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
思路分析：由通项公式an=a1+(n-1)d写出an，再求绝对值最小时的n．
答案：B
7．在等差数列{an}中，a2=-5，a6=a4+6，则a1等于 （ ）
A．-9 B．-8
C．-7 D．-4
思路分析：由题意列出a1，d的方程组，求解．
答案：B
8．lg（ - ）与lg（ + ）的等差中项为 （ ）
A．0 B．lg
C．lg（5-2 ） D．1
思路分析：由等差数列的定义求解，结合对数运算性质．
答案：A
9．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，则a37+b37等于 （ ）
A．0 B．37 C．100 D．－37
思路分析：由{an}，{bn}为等差数列，得{an+bn}也为等差数列．
答案：C
10．在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8等于 （ ）
A．45 B．75 C．180 D．300
思路分析：由等差数列的性质知a3+a7=a4+a6=2a5，再求解．
答案：C
11．在等差数列{an}中，a15=33，a25=66，则a35=________．
思路分析：由d= 求出公差，再由a35=a25+10d求解．
答案：99
12．48，a，b，c，-12是等差数列中的连续5项，则a，b，c的值依次为_________．
思路分析：由已知得a1=48，a5=-12，可求出d，再求出a2，a3，a4即分别为a，b，c的值．
答案：33，18，3
13．梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．
思路分析：要求梯子中间各级的宽度，必须知道各级宽度组成的等差数列的公差．又梯子的级数是12，因此，问题相当于已知等差数列的首项、末项及项数求公差．
解：用{an}表示题中的等差数列，由已知有a1=33，a12=110，n=12，
由通项公式得a12=a1+11d，即110=33+11d.解得d=7．
因此a2=33+7=40，a3=40+7=47，…，a11=96+7=103．
答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm．
综合训练
14．两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？
解：∵an=3n+2，bk=4k-1，
两数列共同项可由3n+2=4k-1求得．
∵n= k-1，而n∈N*，k∈N*，
∴k=3r，r∈N*，得n=4r-1．
由已知 解得 ≤r≤ ．
∵r∈N*，
∴共有25个共同项．
能力提升
15．一个等差派生数列的单调性
各项都为正数且公差不为零的等差数列a1，a2，a3，…，an，把离首末两项“距离”相等的两项之积排成数列，则该数列是 （ ）
A．递减数列 B．递增数列
C．奇数项递增、偶数项递减的数列 D．先增后减的数列
思路分析：取满足已知条件的数列1，2，3，4，5，6．则按题目要求得到派生数列6，10，12，12，10，6． (*)
根据数列(*)特点便可排除A、B、C．那么选项D正确吗？数列(*)是先增后减的数列，递增递减也是有规律的．我们会想：对满足条件的任意等差数列是否都有此结论呢？我们研究下面的命题：
a1，a2，a3，…，an（n≥3）是公差不为零的等差数列，a1an，a2an-1，…，an-1a2，ana1是一个先增后减的数列，并且中间项最大．
设等差数列{an}的公差为d，记数列a1an，a2an-1，…，an-1a2，ana1的第k项为bk，则bk=akan-k+1(k∈N*），
∴bk+1-bk=ak+1an-k-akan-k+1
=(ak+d)(an-k+1-d)-akan-k+1
=(an-k+1-ak)d-d2．
①若n为奇数，当k< 时，bk+1>bk；当k> 时，bk+1
∴b1 >…>bn．
∴{bn}是一个先增后减的数列，并且中间项最大．
①若n为偶数，当k< 时，bk+1>bk；当k= 时，bk+1=bk；当k> 时，bk+1
∴b1 +2>…>bn．
∴{bn}是一个先增后减的数列，并且中间两项相等且最大，都等于 ．
综上证明知，a1an，a2an-1，…，an-1a2，ana1是一个先增后减的数列，并且中间项最大．故选D.
答案：D
共同进步
请和同学一起阅读下面的材料并思考材料之后的问题．
有一种零存整取的储蓄项目，是一种事先约定金额，逐月按约定金额存入，到期支取本息的定期储蓄.人民币5元即可起存；存期选择多：包括一年、三年、五年；每月需以固定金额存入：每月某日存入一笔相同金额，这是零存；到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取.计算零存整取的储蓄利息：一般家庭只采用“月积数计息”方法.其公式是：利息=月存金额×累计月积数×月利率.其中：累计月积数=（存入次数+1）÷2×存入次数.
据此推算一年期的累计月积数为（12+1）÷2×12=78.以此类推，三年期、五年期的累计月积数分别为666和1 830.储户只需记住这几个常数就可按公式计算出零存整取储蓄利息.例：某储户1997年3月1日开立零存整取户，约定每月存入100元，定期一年，开户日该储种利率为月息4.5‰，按月存入至期满，其应获利息为：应获利息=100×78×4.5‰=35.1元.我们可以归结它的本利和公式如下：
本利和=每期存入金额×〔存期+ 存期×（存期+1）×利率〕.
设每期存入金额A元，每期利率为p，存期数为n，则各期利息之和是Ap+2Ap+3Ap+…+nAp= n（n+1）Ap.连同本金，就是本利和=nA+ n（n+1）Ap=A〔n+ n（n+1）p〕=每期存入金额×〔存期+ 存期×（存期+1）×利率〕.
零存整取不是最佳的储蓄方法，随着时代的发展，它有它的局限性，如：提前支取的损失较大.如果因用钱需要提前支取零存整取存款，即使你已经存了11个月，也只能按活期计息.存储方式不易操作：按现行规定，零存整取必须每月都要去银行续存，如果连续两次不按时存储，此后续存的款项就会按活期计息.再如：额度欠灵活.零存整取每月存入的额度是固定的，不能中途更改，适合过去拿固定工资的时代.
思考：1.若每月存入100元，月利率为5.1‰，到第12个月底的本利和是多少?
2.若每月初存入一笔资金，月利率为5.1‰，希望到第12个月底取得本利和2 000元，那么每月应存入多少元?
3.请你和你的同学探讨一下其他的储蓄方法，比较哪种更适合你们自己的家庭.
学海拾贝
历史上的等差数列
在南北朝时，于466年～484年，张邱建写了一部算经，世人称《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建把等差数列的研究向前推进了一步．
例（卷上第十八题）
“今有十等人，每等一人，官赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出．下四人后入，得金三斤，持出．中间三人未到者，亦依等次更给．问各得金几何，及未到三人复应得金几何．”
按照术文，本题解法分三步：
第一步，求出公差d：
“以先入人数分所持金数为上率，以后入人数分所持金数为下率．二率相减，余为差实．并先后入人数而半之，以减凡人数，余为差法．实如法而一，得差数．”
用现代符号，记后入人数为n1，后得金为S1，先入人数为n3，先得金为Sm，则上面的术文即d= ，亦即d= ．
若记未到人数为n2，则d= ．
第二步，把后入四人所得金数视为一等差数列，问最下等人所得金数，这相当于已知d，Sn，n，求a1，术文给出a1= ．
第三步，把十人各得金数视为一等差数列，求每人的金数，这相当于已知a1，d，n，求an，术文给出an=a1+（n-1）d．
张邱建提出的问题及解法，有的是继承了以往的成果，更多的则是创新．这说明至迟在五世纪，中国数学已具备了系统的等差数列的理论，同类结果一直到七世纪初才在印度梵藏的著作中出现．
（2）一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这个常数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉．
（3）求公差d时，可以用d=an-an-1，也可以用d=an+1-an．
（4）公差d∈R，d=0时，数列为常数列；d>0时，数列为递增数列；d<0时，数列为递减数列．
（5）d=an-an-1或d=an+1-an是证明或判断一个数列是等差数列的依据．
2．等差数列的通项公式
（1）通项公式为an=a1+（n-1）d，a1为首项，d为公差．
（2）推导通项公式
下面用几种方法推出等差数列的通项公式：
解法一：（叠加法）
∵{an}为等差数列，则有an-an-1=d，a n-1-a n-2=d，an-2-an-3=d，…，a2-a1=d，以上各式两边相加，得an-a1=（n-1）d．
∴an=a1+（n-1）d．
解法二：（叠代法）
∵{an}为等差数列，则有an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+（n-1）D．
解法三：（逐差法）
∵{an}为等差数列，则有an=an-an-1+a n-1，a n-1=a n-1-an-2+a n-2，a n-2=a n-2-an-3+an-3，…，a2=a2-a1+a1，
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+…+（a2-a1）+a1=（n-1）d+a1.
∴an=a1+（n-1）d．
（3）通项公式的变形
对任意的p，q∈N*，在等差数列中，有ap=a1+（p-1）d，aq=a1+（q-1）d，∴ap-aq=（p-q）D．∴ap=aq+（p-q）D．
通项公式的变形为ap=aq+（p-q）d，请记熟，它在解题中经常被应用．
（4）通项公式的应用
①可以由首项和公差求出等差数列中的任一项．
②已知等差数列的任两项，可以确定等差数列的任一项．
（5）等差数列的图象
由通项公式an=a1+（n-1）d，可得an=dn+（a1-d），如果设p=d，q=a1-d，那么an=pn+q，其中p，q为常数，当p≠0时，an是关于n的一次函数，即（n，an）在一次函数y=px+q的图象上，因此从图象上看，表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上．例如首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为an=2n-1，相应的图象是直线y=2x-1上的均匀排开的无穷多个孤立的点．
总之，公差不为0的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点；当公差为0时，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上的均匀排开的一群孤立的点．
3．等差中项
若a，b，c成等差数列，则b= ，2b=a+c，b-a=c-b，a-b=b-c都是等价的．
用递推关系an+1= （an+an+2）给出的数列也是等差数列，an+1称为an、an+2的等差中项．
4．等差数列常用性质
若数列{an}是公差为d的等差数列，
（1）d=0时，数列为常数列；d>0时，数列为递增数列；d<0时，数列为递减数列．
（2）d= = （m，n，k∈N*）．
（3）an=am+（m-n）d（m，n∈N*）．
（4）若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则am+an=ap+aq．
（5）若 =k，则am+an=2ak（m，n，k∈N*）．
（6）数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=…．
（7）数列{λan+b}（λ，b是常数）是公差为λd的等差数列．
（8）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…（k，m∈N*）组成公差为md的等差数列．
（9）若数列{bn}也为等差数列，则{an±bn}，{kan+bn}（k，b为非零常数）也成等差数列．
（10）{an}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列（首项不一定能够选a1）．
（11）{an}是等差数列，则a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9，…仍成等差数列．
课外讨论
问题1：已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p，q为常数，且p≠0，问这个数列一定是等差数列吗？
探究：判断{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是an-a n-1（n>1）是不是一个与n无关的常数．
取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1（n>1），求差得an-an-1=（pn+q）-〔p（n-1）+q〕=pn+q-pn+p-q=p．
它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列．
问题2：怎样判断一个数列是等差数列？
探究：根据等差数列的定义可知，一个数列是否为等差数列，要看任意相邻两项的差是否为同一个常数．由本例的结论可知，如果an是关于n的一次式，那么由通项公式an=a1+（n-1）d，可得an=dn+（a1-d）．
如果设p=d，q=a1-d，那么an=pn+q．
当p≠0时，an是关于n的一次函数，即（n，an）在一次函数y=px+q的图象上．因此，公差不为0的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点；当公差为0时，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上的均匀排开的一群孤立的点．
等差数列的判定方法：
（1）an+1-an=d（常数）（n∈N*） {an}是等差数列．
（2）2an+1=an+an+2（n∈N*） {an}是等差数列．
（3）an=kn+b（k，b为常数） {an}是等差数列．
（4）an-an-1=d（常数）（n≥2且n∈N*） {an}是等差数列．
例题精讲
例1．已知数列{an}为等差数列，且a5=11，a8=5，则an=__________．
解题思路
要求an必须知道a1和d，根据已知的a5=11和a8=5可以列出两个关于a1与d的方程，解此方程组即可求解a1、d的值.
设数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式及已知得
解得
∴an=19+（n-1）（-2），即an=-2n+21．
答案：-2n+21
解题关键
先根据两个独立的条件解出两个量a1和d，进而再写出an的表达式．几个独立的条件就可以解出几个未知量，这是方程思想的重要应用．
例2．已知数列的通项公式为an=6n-1，问：这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？
解题思路
判断一个数列是否为等差数列，要根据等差数列的定义，只需判断an+1-an是否为常数．如为常数，此数列即为等差数列，否则就不是.
解：∵an+1-an=〔6（n+1）-1〕-（6n-1）=6为常数，
∴{an}为等差数列，其首项为a1=6×1-1=5，公差为6．
解题关键
根据定义解题是最基本的途径，只有把握了定义的实质，才能得心应手的去运用它．拓展到利用其他一些引申的性质也可以解决问题.
例3．数列{an}的各项的倒数组成一个等差数列，若a3=2-1，a5=2+1，求a11．
解题思路
∵{ }成等差数列，设其公差为d，首项为 ，然后由通项公式即得d和 ，代入通项公式可求a11．
解：设等差数列为{bn}，公差为d．
由已知得b3= = = +1，b5= = = -1．
∴ 解得
∴b11=b1+10d=2-7．
∴a11= = = ．
解题关键
在解题过程中要注意到 - =-1，即an+1= ，此类递推公式的数列，可转化为等差数列，进而求出数列的通项公式．
例4．在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这5个数成等差数列，则这个数列为_______．
解题思路
此题可求出公差后，再逐项求解，也可以利用等差数列的性质求解．如将-1看成此等差数列的第一项，那么7为此数列的第5项.根据等差数列性质可求出公差，然后可求插入的数为何值.
设这5个数组成的等差数列为{an}，由已知a1=-1，a5=7，7=-1+（5-1）d．
解得d=2，所求数列为-1，1，3，5，7．
答案：-1，1，3，5，7
例5．在等差数列{an}中，已知a2+a3+a10+a11=36，求a5+a8的值．
解题思路
根据题中给出等式可以得出此数列的首项a1与公差d之间的关系式，但求出a5+a8仍有困难，所以要将a5+a8变形，用a1与d来表示，即可得出结论.
解：根据题意，有（a1+d）+（a1+2d）+（a1+9d）+（a1+10d）=36，∴4a1+22d=36.
又∵a5+a8=a1+4d+a1+7d=2a1+11d，∴a5+a8=18.
解题关键
此解法设出了a1、d，但并没有求出a1、d，事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中常用，它体现了整体的思想．此题还可以运用等差数列的性质：若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则am+an=ap+aq．则有a5+a8=a2+a11=a3+a10，从而易求出a5+a8=18.
例6．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
解题思路
此题常规方法是利用已知条件，先求出首项和公差，进而求出这四个数．其实因这里成等差数列的四个数之和已知，故可设此四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，这样求解更为便利，但必须注意这时的公差应为2d．
解：设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，则由题意得
即
解得 或，
∴所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2．
解题关键
此题设法很重要，一般有如下规律：
（1）若所给等差数列为2n（n∈N*）项，则可设为
a-（2n-1）d，…，a-3d，a+d，a+3d，…，a+（2n-1）d，数列的公差为2d．
（2）若所给等差数列为2n+1（n∈N*）项，则可设为
a-（n-1）d，…，a-d，a，a+d，…，a+（n-1）d，数列的公差为d．
例7．若数列{an}为等差数列，ap=q，aq=p（p≠q），则ap+q为 （ ）
A．p+q B．0 C．-（p+q） D．
解题思路
本题可用通项公式求解，也可利用an=am+（n-m）d求解，还可利用一次函数的图象求解．
不妨设p
由△ABE∽△BCF，得 = .
∴ = ．
∴ =1．
∴m=0．
∴应选B．
答案：B
图2-2-1
解题关键
设{an}是公差为d的等差数列，那么an=am+（m-n）d或d= （m，n∈N*）．本性质是通项公式的推广，通常适用“已知等差数列某一项（或某几项），求数列中的另一项”一类的题目．应用性质时，应注意n与m的大小关系不确定，当n≤m时，性质仍然成立．
自我训练
达标训练
1．已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n，则它的公差为 （ ）
A．2 B．3
C．-2 D．-3
思路分析：由an-an-1=d或用特殊值求出a1，a2，则a2-a1=d．
答案：C
2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于 （ ）
A．30° B．60°
C．90° D．120°
思路分析：由A、B、C成等差数列，得A+C=2B，再根据三角形内角和为180°可求解．
答案：B
3．数列{an}的通项公式an=2n+5，则此数列 （ ）
A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列
思路分析：通项公式为an=pn+q的数列是等差数列，公差为p，首项为p+q．
答案：A
4．已知等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则ca1，ca2，ca3，…，can（c为常数，且c≠0）是 （ ）
A．公差为d的等差数列 B．公差为cd的等差数列
C．非等差数列 D．以上都不对
思路分析：由an-an-1=d，得can-can-1=c(an-an-1)=cd．
答案：B
5．在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，则a101的值为 （ ）
A．49 B．50
C．51 D．52
思路分析：先判断数列{an}为等差数列，公差为 ，再由通项公式求a101．
答案：D
6．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为 （ ）
A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
思路分析：由通项公式an=a1+(n-1)d写出an，再求绝对值最小时的n．
答案：B
7．在等差数列{an}中，a2=-5，a6=a4+6，则a1等于 （ ）
A．-9 B．-8
C．-7 D．-4
思路分析：由题意列出a1，d的方程组，求解．
答案：B
8．lg（ - ）与lg（ + ）的等差中项为 （ ）
A．0 B．lg
C．lg（5-2 ） D．1
思路分析：由等差数列的定义求解，结合对数运算性质．
答案：A
9．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，则a37+b37等于 （ ）
A．0 B．37 C．100 D．－37
思路分析：由{an}，{bn}为等差数列，得{an+bn}也为等差数列．
答案：C
10．在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8等于 （ ）
A．45 B．75 C．180 D．300
思路分析：由等差数列的性质知a3+a7=a4+a6=2a5，再求解．
答案：C
11．在等差数列{an}中，a15=33，a25=66，则a35=________．
思路分析：由d= 求出公差，再由a35=a25+10d求解．
答案：99
12．48，a，b，c，-12是等差数列中的连续5项，则a，b，c的值依次为_________．
思路分析：由已知得a1=48，a5=-12，可求出d，再求出a2，a3，a4即分别为a，b，c的值．
答案：33，18，3
13．梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．
思路分析：要求梯子中间各级的宽度，必须知道各级宽度组成的等差数列的公差．又梯子的级数是12，因此，问题相当于已知等差数列的首项、末项及项数求公差．
解：用{an}表示题中的等差数列，由已知有a1=33，a12=110，n=12，
由通项公式得a12=a1+11d，即110=33+11d.解得d=7．
因此a2=33+7=40，a3=40+7=47，…，a11=96+7=103．
答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm．
综合训练
14．两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？
解：∵an=3n+2，bk=4k-1，
两数列共同项可由3n+2=4k-1求得．
∵n= k-1，而n∈N*，k∈N*，
∴k=3r，r∈N*，得n=4r-1．
由已知 解得 ≤r≤ ．
∵r∈N*，
∴共有25个共同项．
能力提升
15．一个等差派生数列的单调性
各项都为正数且公差不为零的等差数列a1，a2，a3，…，an，把离首末两项“距离”相等的两项之积排成数列，则该数列是 （ ）
A．递减数列 B．递增数列
C．奇数项递增、偶数项递减的数列 D．先增后减的数列
思路分析：取满足已知条件的数列1，2，3，4，5，6．则按题目要求得到派生数列6，10，12，12，10，6． (*)
根据数列(*)特点便可排除A、B、C．那么选项D正确吗？数列(*)是先增后减的数列，递增递减也是有规律的．我们会想：对满足条件的任意等差数列是否都有此结论呢？我们研究下面的命题：
a1，a2，a3，…，an（n≥3）是公差不为零的等差数列，a1an，a2an-1，…，an-1a2，ana1是一个先增后减的数列，并且中间项最大．
设等差数列{an}的公差为d，记数列a1an，a2an-1，…，an-1a2，ana1的第k项为bk，则bk=akan-k+1(k∈N*），
∴bk+1-bk=ak+1an-k-akan-k+1
=(ak+d)(an-k+1-d)-akan-k+1
=(an-k+1-ak)d-d2．
①若n为奇数，当k< 时，bk+1>bk；当k> 时，bk+1
∴b1
∴{bn}是一个先增后减的数列，并且中间项最大．
①若n为偶数，当k< 时，bk+1>bk；当k= 时，bk+1=bk；当k> 时，bk+1
∴b1
∴{bn}是一个先增后减的数列，并且中间两项相等且最大，都等于 ．
综上证明知，a1an，a2an-1，…，an-1a2，ana1是一个先增后减的数列，并且中间项最大．故选D.
答案：D
共同进步
请和同学一起阅读下面的材料并思考材料之后的问题．
有一种零存整取的储蓄项目，是一种事先约定金额，逐月按约定金额存入，到期支取本息的定期储蓄.人民币5元即可起存；存期选择多：包括一年、三年、五年；每月需以固定金额存入：每月某日存入一笔相同金额，这是零存；到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取.计算零存整取的储蓄利息：一般家庭只采用“月积数计息”方法.其公式是：利息=月存金额×累计月积数×月利率.其中：累计月积数=（存入次数+1）÷2×存入次数.
据此推算一年期的累计月积数为（12+1）÷2×12=78.以此类推，三年期、五年期的累计月积数分别为666和1 830.储户只需记住这几个常数就可按公式计算出零存整取储蓄利息.例：某储户1997年3月1日开立零存整取户，约定每月存入100元，定期一年，开户日该储种利率为月息4.5‰，按月存入至期满，其应获利息为：应获利息=100×78×4.5‰=35.1元.我们可以归结它的本利和公式如下：
本利和=每期存入金额×〔存期+ 存期×（存期+1）×利率〕.
设每期存入金额A元，每期利率为p，存期数为n，则各期利息之和是Ap+2Ap+3Ap+…+nAp= n（n+1）Ap.连同本金，就是本利和=nA+ n（n+1）Ap=A〔n+ n（n+1）p〕=每期存入金额×〔存期+ 存期×（存期+1）×利率〕.
零存整取不是最佳的储蓄方法，随着时代的发展，它有它的局限性，如：提前支取的损失较大.如果因用钱需要提前支取零存整取存款，即使你已经存了11个月，也只能按活期计息.存储方式不易操作：按现行规定，零存整取必须每月都要去银行续存，如果连续两次不按时存储，此后续存的款项就会按活期计息.再如：额度欠灵活.零存整取每月存入的额度是固定的，不能中途更改，适合过去拿固定工资的时代.
思考：1.若每月存入100元，月利率为5.1‰，到第12个月底的本利和是多少?
2.若每月初存入一笔资金，月利率为5.1‰，希望到第12个月底取得本利和2 000元，那么每月应存入多少元?
3.请你和你的同学探讨一下其他的储蓄方法，比较哪种更适合你们自己的家庭.
学海拾贝
历史上的等差数列
在南北朝时，于466年～484年，张邱建写了一部算经，世人称《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建把等差数列的研究向前推进了一步．
例（卷上第十八题）
“今有十等人，每等一人，官赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出．下四人后入，得金三斤，持出．中间三人未到者，亦依等次更给．问各得金几何，及未到三人复应得金几何．”
按照术文，本题解法分三步：
第一步，求出公差d：
“以先入人数分所持金数为上率，以后入人数分所持金数为下率．二率相减，余为差实．并先后入人数而半之，以减凡人数，余为差法．实如法而一，得差数．”
用现代符号，记后入人数为n1，后得金为S1，先入人数为n3，先得金为Sm，则上面的术文即d= ，亦即d= ．
若记未到人数为n2，则d= ．
第二步，把后入四人所得金数视为一等差数列，问最下等人所得金数，这相当于已知d，Sn，n，求a1，术文给出a1= ．
第三步，把十人各得金数视为一等差数列，求每人的金数，这相当于已知a1，d，n，求an，术文给出an=a1+（n-1）d．
张邱建提出的问题及解法，有的是继承了以往的成果，更多的则是创新．这说明至迟在五世纪，中国数学已具备了系统的等差数列的理论，同类结果一直到七世纪初才在印度梵藏的著作中出现．
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- 1楼网友：廢物販賣機
- 2021-01-28 04:22
没看明白你的题目可以再解释下吗？
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