求 sqrt(x^2+12x+40)+sqrt(x^2+y^2)+sqrt(y^2-8y+20) 的最小值。

求 sqrt(x^2+12x+40)+sqrt(x^2+y^2)+sqrt(y^2-8y+20) 的最小值。

设A(-6,2),B(2,4),P(x,0),Q(0,y)
√(x²+12x+40)=√((x+6)²+(0-2)²)=|AP|
√(x²+y²)=√((x-0)²+(0-y)²)=|PQ|
√(y^2-8y+20)=√((2-0)²+(4-y)²)=|QB|
原式=|AP|+|PQ|+|QB|
问题化为:在x轴上求一点P(x,0),在y轴上求一点Q(0,y),
使|AP|+|PQ|+|QB|最小
因A、B分别在二、一象限,A关于x轴的对称点为A'(-6,-2)
当P、Q是直线A'B与x、y轴的交点时,
|AP|+|PQ|+|QB|=|A'P|+|PQ|+|QB|=|A'B|最小
直线A'B方程的方程是3x-4y+10=0
它与x、y轴的交点分别是(-10/3,0),(0,5/2)
所以 当P是(-10/3,0),Q是(0,5/2)时
原式取最小值|A'B|=10追问谢谢，很漂亮，我做的时候没有注意到sqrt(x^2+y^2) 也是PQ的长度，一直画了一条(0,0)到(x,y)的线段，-_-||。追答互相学习。

实际上，我们可以把它看成
要求一点，到点A（6,2）,B（4, 2）,C(0, 0)的距离最小。
在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即在ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”。
解法如下：分别以AB 、AC为边向外侧作正三角形ABD 、ACE 连结CD 、BE交于一点，则该点 即为所求P点。追问我知道费马点，你可能看错题目了，这里是 sqrt(x^2+12x+40) 是 (x,0) 到 (-6,2) 的距离，没有y追答sorry。
高中学导数吗？

构造函数
F(x)=...
分别对x,y求导。求得驻点。。也就是极值点追问嗯，我知道这么做，不过式子太复杂了而且是二元无理的方程组，解不出来的追答好题目，可惜真没有思路。。。追问这题已经有人给出满意回答了，你不妨看看。

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