矩形ABCD,∠ACD=30°,点E为矩形ABCD的边BC上一动点,∠EAD的平分线交CD于点F,过

矩形ABCD,∠ACD=30°,点E为矩形ABCD的边BC上一动点,∠EAD的平分线交CD于点F,过

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,AB=CD,在Rt△ACD中,∵∠ACD=30°,CD=根号3AD,∴AB=根号3AD,∵AE⊥AG,∴∠EAG=∠BAD=90°,∴∠BAE+∠EAD=90°,∠GAD+∠EAD=90°,∴∠BAE=∠GAD,∵∠B=∠ADG=90°,∴△BAE∽△DAG,∴ AB /DA =BE/DG ,∴DG=3/根号3BE,∵∠EAF=∠FAD,AB∥CD,∴∠BAF=∠FAG=∠AFG,∴AG=FG,∴AG=FG=DF+DG=DF+ 根号3/3BE．（2）在Rt△ABC中,∠BCA=60°,由（1）可知,∠G=∠BCA=60°,∠DAG=30°,∴∠BAG=120°,∴∠BAF=∠AFG=∠FAG=∠G=60°,∴△AFG为等边三角形,过点H作HK⊥CD于点K,HK∥BC,∴∠CHK=∠BCH,∴tan∠CHK= 5倍根号3/9 设CK=5倍根号3x,则HK=9x,在Rt△HKG内,∠G=60°,KG=3倍根号3x,HG=6倍根号3x,CG=8倍根号3x,∠FAC=∠ACF=30°,∴AF=FC=2DF,∴CD=AB=HG=6倍根号3x,连接FH,FB,∠BAF=∠HGF=60°,FG=FA,∴△HGF≌△BAF,∴FB=FH,∠BFA=∠HFG,∴∠BFH=∠AFG=60°,∴△BFH为等边三角形,∴FM⊥BH,∵∠FBH=60°,∴FH= 2/根号3FM=2倍根号7,FC=4倍根号3x,FK= 根号3x,在Rt△FHK内,FH^2=FK^2+HK^2,∴x=根号3/3 ,∴HK=3倍根号3,

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