请给出详细证明过程
要很详细狠详细的
柯西不等式一般式
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解决时间 2021-05-14 22:46
- 提问者网友：不爱我么
- 2021-05-14 12:35
最佳答案
- 五星知识达人网友：迟山
- 2021-05-14 12:55
一般形式
(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
证明：
当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立
令A=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2
当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A＞0
构造二次函数f(x)=Ax^2＋2Bx＋C，展开得：
f(x)＝∑(ai^2·x^2＋2ai·bi·x＋bi^2)＝∑ (ai·x＋bi)^2≥0
故f(x)的判别式△＝4B^2－4AC≤0，
移项得AC≥B^2，欲证不等式已得证。
(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
证明：
当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立
令A=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2
当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A＞0
构造二次函数f(x)=Ax^2＋2Bx＋C，展开得：
f(x)＝∑(ai^2·x^2＋2ai·bi·x＋bi^2)＝∑ (ai·x＋bi)^2≥0
故f(x)的判别式△＝4B^2－4AC≤0，
移项得AC≥B^2，欲证不等式已得证。
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