设矩阵A=aaT bbT,这里a,b为n维向量.证明:(1)R(A)<=2；（2）当a，b线性相关时，R(A)<=1

设矩阵A=aaT bbT,这里a,b为n维向量.证明:(1)R(A)<=2；（2）当a，b线性相关时，R(A)<=1

(1) r(A) <= r(aa^T) + r(bb^T) <= r(a) + r(b) <= 1+1 = 2
(2) 当 a,b线性相关时, 其中一个可由另一个线性表示
不妨设 a=kb
则 A = (kb)^T(kb) + bb^T = (1+k^2)bb^T
所以 r(A) <= r(bb^T) <= r(b) <=1
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。
扩展资料
这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n，m×n矩阵A也记作Amn。

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。

设a=(a1,a2,a3)T,b=(b1,b2,b3)T 计算得A= a1b1(a1b1+a2b2+a3b3) a1b2(a1b1+a2b2+a3b3) a1b3(a1b1+a2b2+a3b3) a2b1(a1b1+a2b2+a3b3) a2b2(a1b1+a2b2+a3b3) a2b3(a1b1+a2b2+a3b3) a3b1(a1b1+a2b2+a3b3) a3b2(a1b1+a2b2+a3b3) a3b3(a1b1+a2b2+a3b3) 计算得其行列式=0,所以R（A）<=2 当a,b线性相关时，不妨设b=ka,则bi=ai,i=1,2,3 代入A得,A=k(a1b1+a2b2+a3b3) D,其中 D=a1^2 a1a2 a1a3 a2a1 a2^2 a2a3 a3a1 a3a2 a3^2 D的各行成比例，所以R（D）=1，所以R（A）=R（D）=1

(1) r(a) <= r(aa^t) + r(bb^t) <= r(a) + r(b) <= 1+1 = 2 (2) 当 a,b线性相关时, 其中一个可由另一个线性表示 不妨设 a=kb 则 a = (kb)^t(kb) + bb^t = (1+k^2)bb^t 所以 r(a) <= r(bb^t) <= r(b) <=1

题目有问题，不管什么情况下，都是R(A)<=1. 也许你的题目中的矩阵A应该是： A=aaT+bbT

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