已知函数f(x)对一切实数xy均有f(x+y)=(x+2y+1)x求f(0)的值和求f(x)+3<2x+a且0<x<1/2恒成立时，求a的值

已知函数f(x)对一切实数xy均有f(x+y)=(x+2y+1)x求f(0)的值和求f(x)+3<2x+a且0<x<1/2恒成立时，求a的值

令x=y=0 所以f(0)=1×0=0

令y=x 所以f(x+x)=(x+2x+1)x ==>f(2x)=3x²+x

用还原法求出f(x) 令2x=t ==>x=t/2

所以f(t)=3×(t/2)²+t/2 =3/4*t²+1/2*t

即f(x)=3/4*x²+1/2*x

f(x)=3/4*x²+1/2*x=3/4(x+1/3)²-1/12 ==>对称轴x=-1/3

所以f(x)在(0,1/2)上是增函数

因为0<x<1/2 ==> f(x)min=f(0)=0

f(x)max=f(1/2)=7/16

所以当0<x<1/2 ==>f(x)∈(0,7/16)

f(x)+3∈(3,55/16)

f(x)+3<2x+a要在0<x<1/2恒成立 那么2x+a的最小值必须大于或等于f(x)+3的最大值55/16

所以2x+a≥55/16 ==>a≥55/16-2x

因为0<x<1/2 ==>55/16-2x∈(39/16,55/16)

所以a≥55/16

设y=0，得f(x)=x^2+x，则f(0)=0，当0<x<1/2时，f(x)单调递增，最大值f(1/2)=3/4。设d(x)=2x-a-3，若f(x)+3<2x-a恒成立，且过(1/2,3/4),(0,0)的直线斜率为3/2<2，故若d(x)截距大于0，则题中不等式在(0,1/2)区间恒成立，即-a-3>=0，得a小于等于-3

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