设数列{an}满足an=2an-1+1（n≥2），且a1=1，bn=log2（an+1）（1）证明：数列{an+1}为等比数列；（2）求

设数列{an}满足an=2an-1+1（n≥2），且a1=1，bn=log2（an+1）（1）证明：数列{an+1}为等比数列；（2）求数列{1bnbn+2}的前n项和Sn．

（1）证明：因为an=2an-1+1（n≥2），所以an+1=2（an-1+1）（n≥2），
所以数列{an+1}是公比为2的等比数列．
（2）因为数列{an+1}是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列，
所以an+1=2?2n-1=2n，所以bn=log2（an+1）=n．
所以
1
bnbn+2 =
1
n(n+2) =
1
2 （
1
n ?
1
n+2 ）．
所以Sn=
1
2 （1-
1
3 ）+
1
2 （
1
2 -
1
4 ）+
1
2 （
1
3 -
1
5 ）+…+
1
2 （
1
n?1 -
1
n+1 ）+
1
2 （
1
n -
1
n+2 ）
=
1
2 （1+
1
2 -
1
n+1 -
1
n+2 ）=
3n2+5n
4n2+12n+8 ．

解答：（i）证明：∵正项数列{an}满足a1=1，an+1=an2+2an（n∈n+）， ∴an+1+1=(an+1)2， 两边取对数可得：log2（an+1+1）=2log2（an+1）． ∵bn=log2（an+1）， ∴bn+1=2bn，b1=log2（a1+1）=1． ∴数列{bn}为等比数列． （ii）解：由（i）可得bn=2n-1． ∴ 1 log2bn+1log2bn+2 = 1 n(n+1) = 1 n - 1 n+1 ． ∴数列{ 1 log2bn+1?log2bn+2 }的前n项和tn=(1- 1 2 )+( 1 2 - 1 3 )+…+( 1 n - 1 n+1 )=1- 1 n+1 ． ∵1- 1 n+1 ＜1， 假设存在实数a，使得不等式tn＜a- 3 a -1对?n∈n*恒成立，则a- 3 a -1＞1，化为 a2-2a-3 a ＞0，∴a（a-3）（a+1）＞0， 解得-1＜a＜0或a＞3． ∴存在实数a∈（-1，0）∪（3，+∞），使得不等式tn＜a- 3 a -1对?n∈n*恒成立．

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