函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函……详见问题补充

函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函……详见问题补充

函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则
A.f(x)是偶函数,B.f(x)是奇函数
C.f(x)=f(x+2),D.f(x+3)是奇函数

解：∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，
∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），
以上二表达式说明函数f（x+1）与f（x-1）均关于原点中心对称
而f（x+1）又表示它是f(x)左移一个单位得到的图像，因为f（x+1）关于原点中心对称，所以f(x)图像可由f（x+1）右移一个单位得到，原点右移一个单位是x=1点，
∴函数f（x）关于点（1，0）中心对称；
同理可析函数f（x）也关于点（-1，0）中心对称
∴函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称，不是奇函数也不是偶函数，A,B错；

若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。
即函数f(x)同时关于点A(1,0)和点B(-1,0)成中心对称，所以函数f（x）是周期T=2|-1-1|=4的周期函数，C错；

∵f（-x-1）=-f（x-1）表示f（x-1）关于原点中心对称

又f(x)是周期为4的周期函数
∴f（-x-1+4）=-f（x-1+4），
f（-x+3）=-f（x+3），
∴f（x+3）是奇函数，D成立．
故只有D为真命题．
故答案为：D．

说实话我也看不太懂，当f(x)=sin(πx)的时候是怎样呢？

(1)令x=0得f(1)=-f(1) 所以f(1)=0 过（1,0）由f(-x-1)=-f(x-1) 令x=0得f(-1)=-f(1) 所以f(-1)=0 所以函数y=f(x)的图像过（-1，0）（2）可令x=1带入f(-x+1)=-f(x+1)得到f(0)=-f(2) 由结论C 可得f(0)=f(2) 不相符 故C不对 。也可把f(-x+1)=-f(x+1)中的x换成x+2 变成f(-x-1)=-f(x+3) 再由f(-x-1)=-f(x-1) 可得
f(x-1)=f(x+3)所以周期为4当然也可把第一个等式中的x换成x+3 ,第二个等式中的x换成x+1 继而得到
f(x)=f(x+4)
（3）周期为4 所以f(-x-1+4)=f(-x-1)把-x-1看成x

我这样说吧，上面的解题步骤省略了很多，所以你很难看懂：
（1）令X=0可得f（1）=-f（1），f（1）=0同理可得f（-1）=-f（-1），f（-1）=0，所以
f（1）=f（-1）=0，所以函数函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称
（2）因为f（x-1）是奇函数，所以f（-x-1）=-f（x-1），令X=x-2代入，
f{-（x-2）-1}=-f{（x-2）-1}，化简得f（-x+1）=-f（x-3），①
又因为 f（x+1）是奇函数， 所以f（-x+1）=-f（x+1），②
通过①式和②式，可得f（x-3）=f（x+1），可得T=4
（3）∵f（-x-1）=-f（x-1），上面可以推出函数的周期T=4，所以
f（-x-1+4）=-f（x-1+4），两边同时+4是一样的
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