高中数学 不等式证明

已知f（x）=ax^2+bx+c，且f（1）=-0.5a，3a>2c>2b

求证

（1）a>0且-3<b/a<-3/4

（2）f（x）在（0,2）内有零点

（3）设X1  X2为f（x）两个零点，根号2<=(X1-X2)的绝对值<(根号57)/4

（1)f(1)=a+b+c=-a/2, ∴b+c=-3a/2 
∵3a>2c>2b,
∴b<3a/2,c<3a/2,c>b
∴b+c<3a/2+3a/2=3a, 即-3a/2<3a,
a>0
b+c>b+b=2b, 即-3a/2>2b, b/a<-3/4①
 b+c<b+3a/2,
即-3a/2<b+3a/2, -3a<b, b/a>-3②
结合①②
-3<b/a<-3/4
2)对称轴x=-b/2a, ∵-3<b/a<-3/4, ∴3/8<-b/2a<3/2,
在(0,2)上
f(1)=-a<0, 说明f(-b/2a)<0
f(0)=c=(a+b+c)-a-b=-a/2-a-b=-3a/2-b
f(2)=4a+2b+c=3a+b+(a+b+c)=3a+b-a/2=5a/2+b
∵f(0)+f(2)=-3a/2-b+5a/2+b=a>0
∴f(0)和f(2)中至少有一个大于0
∴由函数的连续性可知(0,2)内至少有一个零点
（3)x1+x2=-b/a, x1x2=c/a,
c=(a+b+c)-a-b=-a/2-a-b=-3a/2-b
x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=b^2/a^2-4c/a=b^2/a^2-4(-3a/2-b)/a
=b^2/a^2+6+4b/a=(b/a+2)^2+2
∵ -3<b/a<-3/4 , ∴(b/a+2)^2+2最小值在
b/a=-2时取得,为2 (可以取到)
最大值在 b/a=-3/4时取得,为25/16+2=57/16 (取不到)
∴2<=(x1-x2)^2<57/16
∴√2<=|x1-x2|<√57/4 (第2个不等号处不能取等)
懂了吗？

1. f(1)=a+b+c=-a/2 把这个式子整理一下，得到3a+2b+2c=0，题设说 3a，2c,2b这三个数有关系3a>2c>2b，它们相加为0，一定有3a>0,2b<0 即a>0,b<0 2. f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=(3a+2b+2c)+(a-c)=a-c,注意到3a>2c，即c<3a/2,且a>0，接下来要分类讨论了： 0<a<c<3a/2时 这时f(0)=c>0,f(2)=a-c<0，在(0,2)间必有零点； c<0时 这时f(0)=c<0,f(2)=a-c>0，在(0,2)间必有零点； 0<c<a时 我们来看函数的对称轴x=-b/2a，由于b=-(3a+2c)/2,c的范围为（0,a) 联立可得-b/2a的范围为(5/4,3/2),是在（0,2)区间内，方程判别式 b^2-4ac=(3a+2c)^4-4ac=(9a^2-4ac+4c^2)/4,这个式子配方后是两个完全平方的和，所以原方程判别式不大于等于0，即原方程一定与x轴有交点，又f(0)>0,f(2)>0,可知这个交点一定在(0,2)间 c=0或c=2时，这个可以单独提出来算一下，可以得到确定的结果，是满足题设的。 3. 由韦达定理x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 可以得到|x1-x2|=[√(b^2-4ac)]/|a|，用等式3a+2b+2c=0把b用a,c代替，再用c<3a/2把式子中的c用a代换，即可求解

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息