某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 1 3

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 1 3 ．（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上遇到红灯个数X的分布列及数学期望．

（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，
所以事件A的概率为P（A）=（1-
1
3 ）×（1-
1
3 ）×
1
3 =
4
27 ．…（5分）
（Ⅱ）由题意，可得X可能取的值为0，1，2，3，4．
∴ P(X=k)=
C k4 (
1
3 ) k (
2
3 ) 4-k （k=0，1，2，3，4）．
∴即X的分布列是

X 0 1 2 3 4
P
16
81
32
81
8
81
8
81
1
81 …（10分）
∴X的期望是 EX=0×
16
81 +1×
32
81 +2×
8
27 +3×
8
81 +4×
1
81 =
4
3 ．…（13分）

（ⅰ）设这名学生在上学路上因红灯停留的总时间至多是2min为事件b，这名学生上学路上因遇到红灯停留的总时间为x，则x～b（4， 2 5 ）． 则由题意，得p（x=0）=（ 3 5 ）4= 81 625 ，（2分） p（x=1）=c41（ 3 5 ）3?（ 2 5 ）1= 216 625 ，（4分） p（x=2）=c42?（ 3 5 ）2?（ 2 5 ）2= 216 625 ．（6分） ∴事件b的概率为p（b）=p（x=0）+p（x=1）+p（x=2）= 513 625 ．（8分） （ⅱ）由题意，可得x可能取得的值为0，1，2，3，4（单位：min）．由题意x～b（4， 2 5 ） ∴p（x=k）=c4k?（ 3 5 ）4-k?（ 2 5 ）k（k=0，1，2，3，4）． ∴即x的分布列是 x 0 1 2 3 4 p 81 625 216 625 216 625 96 625 16 625 ∴x的期望是e（x）=4× 2 5 = 8 5 ．（12分）

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