如何证明根号12是无理数

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一样的原理

如何证明根号3是无理数

反证法：
假设结论不成立（接下来用a表示根号3，因为不好打），即a为有理数，
那么存在正整数p和q（p,q无公因子，或称互质）,使得a=p/q(有理数的性质)，两边平方，得到
p^2=3*q^2,
接下来分析，（具体过程可以有多种，但是都是从公因子3入手，引出矛盾）
因为等号右边有因子3，且3为质数，因此p一定是3的倍数，设p=3r,代入等式并约分得到，
3*r^2=q^2
同理，q也一定是3的倍数，于是p、q均为3的倍数，与p、q互质矛盾。
故有反证法的原理，知a为无理数

√12=2√3 所以只要证明√3是无理数即可 反证法：假设√3是有理数。1^2< (√3)^2<2^2 1<√3<2,所以√3不是整数， 设√3=p/q ，p和q互质 把 √3=p/q 两边平方 3=(p^2)/(q^2) 3(q^2)=p^2 3q^2是3的倍数数，p 必定3的倍数，设p=3k 3(q^2)=9(k^2) q^2=3k^2 同理q也是3的倍数数， 这与前面假设p，q互质矛盾。 因此√3是无理数。 √12为无理数

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