求"集合的公理化定义"
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解决时间 2021-01-22 23:10
- 提问者网友：情歌越听越心酸
- 2021-01-22 02:06
求"集合的公理化定义"
最佳答案
- 五星知识达人网友：山河有幸埋战骨
- 2021-01-22 03:25
集合论中其中一套由Skolem最后整理的公理系统，称为Zermelo-Fraenkel 集合论 (ZF)。实际上，这个名称经常不包括历史上远比今天具争议性的选择公理，当包括了选择公理，这套系统被称为ZFC。
外延公理: 两个集合相同，当且仅当它们拥有相同的元素。
空集公理: 存在着一个不包含任何元素的集合，我们记这个空集合为{}。
配对公理: 假如x, y为集合，那就有另一个集合{x,y}包含x与y作为它的谨有元素。
并集公理: 每一个集合也有一个并集。也就是说，对于每一个集合x，也总存在着另一个集合y，而y的元素也就是而且只会是x的元素的元素。
无穷公理: 存在着一个集合x，空集{}为其元素之一，且对于任何x中的元素y，y U {y}也是x的元素。
分类公理（或子集公理）：给出任何集合及命题P(x)，存在着一个原来集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。
替代公理
幂集公理: 每一个集合也有其幂集。那就是，对于任何的x，存在着一个集合y，使y的元素是而且只会是x的子集。
正规公理 (or axiom of foundation): 每一个非空集合x，总包含着一些元素y，使x与y为不交集。
选择公理: (Zermelo's version) 给出一个集合x，其元素皆为互不相交的非空集，那总存在着一个集合y（x的一个选择集合），包含x每一个元素的谨谨一个元素。
【概率的定义】
随机事件出现的可能性的量度。概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。
■概率的频率定义
随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。
■概率的严格定义
设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(·)是一个集合函数，P(·)要满足下列条件：
（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0;
（2）规范性：对于必然事件S，有P(S)=1;
（3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+……
■概率的古典定义
如果一个试验满足两条：
（1）试验只有有限个基本结果；
（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。
这样的试验，成为古典试验。
对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：
P(A)=m/n，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。
■概率的统计定义
在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。
在历史上，第一个对“当试验次数n逐渐增大，频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是早期概率论史上最重要的学者雅各布·伯努利（Jocob Bernoulli，公元1654年～1705年）。
从概率的统计定义可以看到，数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标。
由于频率nA/n总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。
Ω、Φ分别表示必然事件（在一定条件下必然发生的事件）和不可能事件（在一定条件下必然不发生的事件）。
外延公理: 两个集合相同，当且仅当它们拥有相同的元素。
空集公理: 存在着一个不包含任何元素的集合，我们记这个空集合为{}。
配对公理: 假如x, y为集合，那就有另一个集合{x,y}包含x与y作为它的谨有元素。
并集公理: 每一个集合也有一个并集。也就是说，对于每一个集合x，也总存在着另一个集合y，而y的元素也就是而且只会是x的元素的元素。
无穷公理: 存在着一个集合x，空集{}为其元素之一，且对于任何x中的元素y，y U {y}也是x的元素。
分类公理（或子集公理）：给出任何集合及命题P(x)，存在着一个原来集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。
替代公理
幂集公理: 每一个集合也有其幂集。那就是，对于任何的x，存在着一个集合y，使y的元素是而且只会是x的子集。
正规公理 (or axiom of foundation): 每一个非空集合x，总包含着一些元素y，使x与y为不交集。
选择公理: (Zermelo's version) 给出一个集合x，其元素皆为互不相交的非空集，那总存在着一个集合y（x的一个选择集合），包含x每一个元素的谨谨一个元素。
【概率的定义】
随机事件出现的可能性的量度。概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。
■概率的频率定义
随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。
■概率的严格定义
设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(·)是一个集合函数，P(·)要满足下列条件：
（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0;
（2）规范性：对于必然事件S，有P(S)=1;
（3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+……
■概率的古典定义
如果一个试验满足两条：
（1）试验只有有限个基本结果；
（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。
这样的试验，成为古典试验。
对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：
P(A)=m/n，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。
■概率的统计定义
在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。
在历史上，第一个对“当试验次数n逐渐增大，频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是早期概率论史上最重要的学者雅各布·伯努利（Jocob Bernoulli，公元1654年～1705年）。
从概率的统计定义可以看到，数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标。
由于频率nA/n总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。
Ω、Φ分别表示必然事件（在一定条件下必然发生的事件）和不可能事件（在一定条件下必然不发生的事件）。
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