一道简单函数

已知函数w(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,切w(1/3)=16,w(1)=8

求w(x)解吸式 定义域

求w(x)值域

∵f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数

那么设f(x)=kx,g(x)=h/x

将w(1/3)=16,w(1)=8代入得1/3k+3h=16,k+h=8.

解得 k=3,h=5

∴w(x)的解析式w(x)=f(x)+g(x)=3x+5/x

w(x)定义域为{x|x≠0}（因为5/x要有意义）

w(x)值域为（-∞，0﹚∪﹙0，+∞﹚（既然x≠0，则y也不可能为0）

∵f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数

设f(x)=ax,g(x)=k/x,那么w(x)=ax+k/x

∵w(1/3)=16,w(1)=8

∴a/3+3k=16,a+k=8

解这个方程组,得:a=3,k=5

∴w(x)=3x+5/x

要函数w(x)有意义,那么x≠0

∴函数w(x)=3x+5/x的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)

------------下面求值域,别想当然哦

法1:设y=3x+5/x,x∈(-∞,0)∪(0,+∞)

对于函数值域B中的任意实数y,含x的方程:3x^2-yx+5=0有非零实数根

显然方程的根不是零(当x=0时,方程是5=0)

则判别式y^2-60≥0

解之得:y≤-2√15或y≥2√15

所以,函数的值域B=(-∞,-2√15]∪[2√15,+∞)

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法2:利用a+b≥2√(ab)当且仅当a=b时取等号(a>0,b>0)

函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)

当x>0时,3x>0,5/x>0,且(3x)(5/x)=15

则3x+5/x≥2√15(当x=√15/3时取等号)

当x<0时,-3x>0,-5/x>0且(-3x)(-5/x)=15

则3x+5/x=-[(-3x)+(-5/x)]≤-2√15(当x=-√15/3时取等号)

所以,函数的值域是(-∞,-2√15]∪[2√15,+∞)

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