给定数列{An}满足An=[lg(n+2)]/[lg(n+1)] n∈N*，定义乘积A1*A2*~~~~*Ak为整数时的k叫做希望数，则[1,2010]内的所有希望数的和为多少

详细过程，谢谢

定义乘积A1*A2*~~~~*Ak=lg(k+2)/lg2 为整数

k+2为2的指数，且k≧2

[1,2010]内，2的10次方为1024,11次方为2048

所以k+2≦2的10次方，k+2=2^{n （n=2、3、4、5、6、7、8、9、10）}

接着求其和，它是一个等比数列和常数列的组合

分开求即可

数列是高中数学很重要的内容之一，数列中的通项公式是最常见的题型，其形式多样，解法灵活，也是近年高考考查的重点内容。本文介绍几种求常用的数列通项的方法，如：迭代法、转化法、倒数法、换元法等看似难以下手的问题，只要依据“a1=s1，当n≥2时，an=sn-sn-1”，基本思想来求解，使复杂问题简单化，起到化难为易、化繁为简的功效。例1，已知数列的前几项的和sn，若an=2，nan+1=sn+n(n+1)(n∈N+1)。(1)求数列的通项公式；（2）令Tn=sn2n。①当n为何整数时Tn＞Tn+1；②若对正整数n，总有Tn≤m，求实数m的取值范围。略解：∵nan+1=sn+n(n+1)(n-1)an=sn-1+n(n-1)得an+1-an=2(n≥2)而a2=s1+1·2=4∴a2-a1=2∴an+1-an=2(n∈N+)从而得到是等差数列∴an=2n(2)∵sn=n(n+1)∴Tn=n(n+1)2n令Tn＞Tn+1则n(n+1)2n＞(n+1)·(n+2)2n+1∴n＞2时，Tn＞Tn+1又∵T1=1,T2=32,T3=32∴m≥32例2，在数列中，an＞0，2sn=an+1(a∈N+)(1)求sn和an的表达式。(2)求证：1s1+1s2+1s3+……+1sn＜2。解：(1)因为2sn=an+1平方得4sn=a2n+2an+1因此得4sn-1=a2n-1+2an-1+1两式相减得4an=a2-a2n-1+2(an-an-1)所以(an+an-1)(an-an-1-2)=0∵an>0∴an-an-1=2(n≥2)由2a1=an+1及an>0得a1=1∴an=2n-1，sn=n2(2)证明：1s1+1s2+1s3+……+1sn=112+122+132+……+1n2<1+11×2+12×3+……+1(n-1)n=1+(1-12)+(12-13)+……+(1n-1-1n)=2-1n<22.利用迭代法(1)形如an+1an=f(n)(n∈N+)可用叠乘的方法。例3,已知数列的通项公式。解：由xn=f(xn-1)知，xn=2xn-1xn-1+2∴1xn=xn-1+22xn-1，1xn-1xn-1=12∴是首项，1x1=1，公差为12的等差数列。即1xn=1x1+12(n-1)=12n+12∴xn=2n+1

2026.A1A2...Ak=log以2为底，（k+2)的对数，令log2(k+2)=m,m€Z,所以k=2^m-2,由题意，2^m-2<=2010，解得，m最大为10,问题转化为求数列{2^m-2}的前10项和，代入公式，可得到2026

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