分别以△ABC的边AB,AC为边,向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,点M为BC中点,求证：AM丄EG

分别以△ABC的边AB,AC为边,向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,点M为BC中点,求证：AM丄EG

证明;：延长AM，使MN=AM，连接CN，延长MA与EG相交于点H
因为M是BC的中点
所以BM=MC
因为角AMB=角CMN
所以三角形AMB和三角形NMC全等（SAS)
所以AB=CN
角ABM=角NCM
所以AB平行CN
所以角BAC+角ACN=180度
因为四边形ABDE是正方形
所以AB=AE
角BAE=90度
因为四边形ACFG是正方形
所以AC=AG
角CAG=90度
所以CN=AE
因为角BAE+角BAC+角CAG+角EAG=360度
所以角BAC+角EAG=180度
所以角ACN=角EAG
所以三角形ACN和三角形GAE全等（SAS)
所以角AGE=角CAN
因为角CAN+角CAG+角GAH=180度
所以角GAH+角AGE=90度
因为角GAH+角AGE+角AHG=180度
所以角AHG=90度
所以AM垂直EG

延长AM到N,使MN=AM,延长MA交EG于点P,连接BN NC
BM=CM
四边形ABNC是平行四边形
BN=AC=AG
角EAG+角BAC=180
角ABN=角BAC=180
则角EGA=角ABN
因AE=AB
所以三角形EAG全等三角形ABN
则角AEG=角BAN
因角EAB=90
则角EAP+角BAN=90
角AEP+角EAP=90
所以MA垂直EG

（1）延长AMD到N，使MN=AM,延长MA交EG于点P，连接BN、NC.
∵BM=CM，
∴四边形ABNC是平行四边形.
∴BN=AC=AG
∵∠EAG ∠BAC=180°,
∠ABN ∠BAC=180°
∴∠EAG=∠ABN.
∵AE=AB,
∴△EAG≌△ABN
∴∠AEG=∠BAN
又∵∠EAB=90°
∴∠EAP ∠BAN=90°
∴∠AEP ∠EAP=90°
∴MA⊥EG

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