如图，等腰三角形ABC的顶角角A=36度，圆O和底边相切于中点D，并过两腰的中点G，F，又和两腰相交于点H，E。求证：五边形DEFGH是正五边形。
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解决时间 2021-04-11 14:13
- 提问者网友：棒棒糖
- 2021-04-10 19:43
如图，等腰三角形ABC的顶角角A=36度，圆O和底边相切于中点D，并过两腰的中点G，F，又和两腰相交于点H，E。求证：五边形DEFGH是正五边形。
最佳答案
- 五星知识达人网友：佘樂
- 2021-04-10 20:42
连结DF、DG
易证四边形AFDG是菱形
∴∠BGD＝∠FDG＝∠CFD＝∠A＝36°
∵BC是切线
∴∠CDE＝∠CFD＝36°
而∠FDC＝∠B＝72°
∴∠EDF＝36°
同理：∠GDH＝36°
∴∠BGD＝∠CFD＝∠EFD＝∠FDG＝∠GDH＝36°
∴弧HD＝弧DE＝弧EF＝弧FG＝弧GH
即D、E、F、G、H将⊙O五等分
∴五边形DEFGH是正五边形
易证四边形AFDG是菱形
∴∠BGD＝∠FDG＝∠CFD＝∠A＝36°
∵BC是切线
∴∠CDE＝∠CFD＝36°
而∠FDC＝∠B＝72°
∴∠EDF＝36°
同理：∠GDH＝36°
∴∠BGD＝∠CFD＝∠EFD＝∠FDG＝∠GDH＝36°
∴弧HD＝弧DE＝弧EF＝弧FG＝弧GH
即D、E、F、G、H将⊙O五等分
∴五边形DEFGH是正五边形
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- 1楼网友：酒者煙囻
- 2021-04-10 22:26
为什么 同理可得 角GDH=36
- 2楼网友：未来江山和你
- 2021-04-10 21:35
证明：连接GF、GD、FD、HD、ED
因为 点G、F是三角形的中点
所以 GF平行且等于1/2BC
又因为 点D为等腰三角形底边上的中点，
所以 GF=BD=DC
所以 四边形BDFG和四边形DCFG为平行四边形
所以 角BGD=角A=角GDF=角DFC=36度
所以 GF=HD=DE=HD=DE
所以 五边形DEFGH是正五边形
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