已知扇形半径为r,周长为定值c(c>0).若圆心角a∈(0,2π)，则当a为多少弧度时，扇形面积最大？最大面积为？

已知扇形半径为r,周长为定值c(c>0).若圆心角a∈(0,2π)，则当a为多少弧度时，扇形面积最大？最大面积为？

设扇形的弧长为l 则 l=αr
c=2r+l l=c-2r=αr r=c/(α+2)
扇形面积S=1/2*lr=1/2*αr^2=1/2*α*[c/(α+2)]^2
=(c^2)/2*α/(α+2)^2
=(c^2)/2*α/(α^2+4α+4)
=(c^2)/2*1/(4+α+4/α)
而α+4/α≥2 √(α*4/α)=4
所以4+α+4/α≥8(当且仅当α=4/α即α=2时取“=”)
从而S=(c^2)/2*1/(4+α+4/α)≤(c^2)/2*1/8=(c^2)/16
所以当α=2时S取最大值(c^2)/16
所以 当α为2弧度时，扇形面积最大，最大面积为(c^2)/16

给的条件貌似多了 那个圆心角用不上的吧 两个变量扇形半径r，扇形弧长l 两个公式，扇形面积公式，扇形周长公式 化简后有：s=-1/4（l-c/2）*（l-c/2）+c*c/16 所以当且仅当l=c/2时，s最大为c*c/16

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