在△ABC中，角ABC的对边分别为abc若三边a,b,c成等比数列,则b/a的取值范围
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解决时间 2021-03-13 10:49
- 提问者网友：半生酒醒
- 2021-03-13 04:37
在△ABC中，角ABC的对边分别为abc若三边a,b,c成等比数列,则b/a的取值范围
最佳答案
- 五星知识达人网友：我住北渡口
- 2021-03-13 04:52
设b/a=c/b=q,q>0
则b=aq,c=aq²
由题
a+aq>aq²
aq+aq²>a
a+aq²>aq
∴q²-q-1<0
q²-q+1>0
q²+q-1>0
解的
(√5-1)/2
则b=aq,c=aq²
由题
a+aq>aq²
aq+aq²>a
a+aq²>aq
∴q²-q-1<0
q²-q+1>0
q²+q-1>0
解的
(√5-1)/2
全部回答
- 1楼网友：冷風如刀
- 2021-03-13 05:21
三角形三边abc为等比数列,设公比为q,
a为三角形最短边时,
设a≤b≤c
则 b=qa,c=q²a
因为a+b＞c
所以 a+qa＞q²a
q²-q-1＜0
[q-(1+根号5)/2][q-(1-根号5)/2]＜0
解得 (1-根号5)/2＜q＜(1+根号5)/2
又因为 a≤b，所以q≥1
所以 1≤q＜(1+根号5)/2
当q=1时，b=a,c=a.
同理a为三角形最长边时, (根号5-1)/2＜q≤1，
综上可知(根号5-1)/2＜q＜(1+根号5)/2。
即(根号5-1)/2＜b/a＜(1+根号5)/2
a为三角形最短边时,
设a≤b≤c
则 b=qa,c=q²a
因为a+b＞c
所以 a+qa＞q²a
q²-q-1＜0
[q-(1+根号5)/2][q-(1-根号5)/2]＜0
解得 (1-根号5)/2＜q＜(1+根号5)/2
又因为 a≤b，所以q≥1
所以 1≤q＜(1+根号5)/2
当q=1时，b=a,c=a.
同理a为三角形最长边时, (根号5-1)/2＜q≤1，
综上可知(根号5-1)/2＜q＜(1+根号5)/2。
即(根号5-1)/2＜b/a＜(1+根号5)/2
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