（高二数学椭圆）已知直线y=-x+1与椭圆相交于A,B两点(1)若椭圆的离心率为√3/3,焦距为2,

（高二数学椭圆）已知直线y=-x+1与椭圆相交于A,B两点(1)若椭圆的离心率为√3/3,焦距为2,

缺了条件,焦点应该在x轴上.（1）离心率e=c/a=√3/3=1/√3∵ c=1,∴ a=√3∴ b=√2∴ 方程为x²/3+y²/2=1（2）设 A(x1,y1),B(x2,y2)将y=-x+1代入b²x²+a²y²=a²b²∴b²x²+a²(1-x)²=a²b²∴(a²+b²)x²-2a²x+a²(1-b²)=0利用韦达定理∴x1+x2=2a²/(a²+b²),x1*x2=a²(1-b²)/(a²+b²)∴ y1y2=(-x1+1)*(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1=[a²(1-b²)-2a²+a²+b²]/(a²+b²)∴ y1y2=b²(1-a²)/(a²+b²)∵OA,OB互相垂直 ∴ x1x2+y1y2=0∴ a²(1-b²)+b²(1-a²)=0 即 a²+b²=2a²b²∴ a²+a²-c²=2a²(a²-c²)∴ 2a²=(2a²-c²)/(a²-c²)分式上下同时除以a²∴ 2a²=(2-e²)/(1-e²)=1+1/(1-e²)∵ e∈[1/2,(√2)/2]∴ e²∈[1/4,1/2]∴ 1-e²∈[1/2,3/4]∴ 1/(1-e²)∈[4/3,2]∴ 1+1/(1-e²)∈[7/3,3]∴ 2a²的最大值为3∴ a的最大值为√(3/2)=√6/2∴ 长轴长的最大值为√6

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