大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天

大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表：x（天）123…50p（件）118116114…20销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+1125x．（1）请分析表格中销售量p与x的关系，求出销售量p与x的函数关系．（2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式．（3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？

（1）设销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=kx+b，
代入（1，118），（2，116）得








k+b＝118
2k+b＝116
解得







k＝?2
b＝120
因此销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=-2x+120；

（2）当1≤x＜25时，
y=（60+x-40）（-2x+120）
=-2x2+80x+2400，
当25≤x≤50时，
y=（40+
1125
x -40）（-2x+120）
=
135000
x -2250；

（3）当1≤x＜25时，
y=-2x2+80x+2400，
=-2（x-20）2+3200，
∵-2＜0，
∴当x=20时，y有最大值y1，且y1=3200；
当25≤x≤50时，
y=
135000
x -2250；
∵135000＞0，
∴
135000
x 随x的增大而减小，
当x=25时，
135000
x 最大，
于是，x=25时，y=
135000
x -2250有最大值y2，且y2=5400-2250=3150．
∵y1＞y2
∴这50天中第20天时该超市获得利润最大，最大利润为3200元．

（1）当1≤x≤20时，q=30+ 1 2 x=35，解得：x=10， 当21≤x≤40时，q=30+ 525 x =35，解得：x=35， ∴第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件． （2）当1≤x≤20时，y=（30+ 1 2 x-20）（50-x）=- 1 2 x2+15x+500， 当21≤x≤40时，y=（20+ 525 x -20）（50-x）= 26250 x -525， ∴y关于x的函数关系式为y= ? 1 2 x2+15x+500，1≤x≤20 26250 x ?525，21≤x≤40 ． （3）当1≤x≤20时，y=- 1 2 x2+15x+500=? 1 2 （x-15）2+612.5， ∴当x=15时，y有最大值为612.5， 当21≤x≤40时，y= 26250 x -525是减函数， ∴当x=21时，y有最大值为725， ∵725＞612.5， ∴这40天中该网店第21天获得的利润最大，最大为725元．

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