设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数记为f″（x），若在区间

设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数记为f″（x），若在区间（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“上凸函数”，已知f（x）=112x4-16mx3-32x2，若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“上凸函数”，则区间（a，b）可以是（　　）A．（-1，3）B．（0，1）C．（-3，3）D．（-3，1）

根据题意得，f′(x)＝
1
3 x3?
1
2 mx2?3x，
∴f″（x）=x2-mx-3，
∵f″（x）＜0恒成立
∴x2-mx-3＜0，
∴mx＞x2-3恒成立．
当x=0时，f″（x）=-3＜0显然成立．
当x＞0，x-
3
x ＜m
∵m的最小值是-2，
∴x-
3
x ＜-2，从而解得0＜x＜1；
当x＜0，x-
3
x ＞m
∵m的最大值是2，
∴x-
3
x ＞2，从而解得-1＜x＜0．
故选B．

∵函数f（x）= 1 12 x4? 1 3 x3? 3 2 x2，∴f′(x)＝ 1 3 x3?x2?3x， ∴f″（x）=x2-2x-3， ∵函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”， ∴在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立， 由x2-2x-3＜0，解得-1＜x＜3． ∴a=-1，b=3， ∴b-a=3-（-1）=4． 故选：a．

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