设λ1,λ2是方阵A的特征值,P1,P2依次是与之对应的特征向量,如果λ1不等于λ2,证明向量组P1，P2线性无关
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解决时间 2021-12-16 08:13
- 提问者网友：谁偷了我的梦
- 2021-12-16 03:02
设λ1,λ2是方阵A的特征值,P1,P2依次是与之对应的特征向量,如果λ1不等于λ2,证明向量组P1，P2线性无关
最佳答案
- 五星知识达人网友：初遇未遇
- 2021-12-16 03:44
1. 解：设k1p1 +k2p2 =0
原等式两边A作用得：k1λ1p1 +k2λ2p2 =0
原等式两边同时乘以λ1得：k1λ1p1 +k2λ1p2 =0
上两式相减得k2（λ1-λ2）p2=0
因为λ1不等于λ2，又特征向量不等于0向量。
所有k2=0，再代入原等式得k1=0
从而向量组P1，P2线性无关。
原等式两边A作用得：k1λ1p1 +k2λ2p2 =0
原等式两边同时乘以λ1得：k1λ1p1 +k2λ1p2 =0
上两式相减得k2（λ1-λ2）p2=0
因为λ1不等于λ2，又特征向量不等于0向量。
所有k2=0，再代入原等式得k1=0
从而向量组P1，P2线性无关。
全部回答
- 1楼网友：跟紧步伐
- 2021-12-16 04:50
反证
假设 a(p1+p2) = λ(p1+p2)
则 λ1p1+λ2p2 = λp1+λp2
所以 (λ-λ1)p1+(λ-λ2)p2 = 0
由于属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 λ-λ1=0, λ-λ2=0
所以 λ = λ1 = λ2, 矛盾.
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