一道数学题来看看

求所有的有理数K，使得方程KX²+（K+1)X+(K-1)=0的根都是整数。

由题有x=[-k-1±√4-3（k-1）^2]/2k

方程要有解则4-3（k-1）^2》0

因根都是整数，所以 4-3（k-1）^2=0、1或4

当4-3（k-1）^2=0时，k=1±（2/√3），代入解得x不为整数，舍去。

当4-3（k-1）^2=1时，k=0或k=2。k=0代入解得x=1；k=2代入解得x=-1或x=-1/2（舍去）。

当4-3（k-1）^2=4时，k=1，代入解得x=-2或x=0

由上可知当k=0、1时，方程KX²+（K+1)X+(K-1)=0的根都是整数。

这是一道超奥数题. 答：使得方程kx^2+(k+2)x+(k-1)=0的根都是整数的所有有理数k=-1/3或1 解：K=0 kx^2+(k+2)x+(k-1)=0 2x-1=0 x=1/2,不符合已知条件，故k≠0 kx^2+(k+2)x+(k-1)=0的根都是整数 △=（k+2)^2-4k（k-1）≥0 3k^2-8k-4≤0 (4-2√7)/3≤k≤(4+2√7)/3 x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k) -3k^2+8k+4=-3(k-4/3)^2+4+16/3 -3(k-4/3)^2≤0 -3k^2+8k+4≤4+16/3≤9 可知-3k^2+8k+4=0，1，2^2，3^2 讨论： （1）-3k^2+8k+4=0 k=(4±2√7)/3 x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k) =-1/2-1/k x不全是整数，不符合已知条件。 （2）-3k^2+8k+4=1 k=(4±5)/3=3,-1/3 x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k) =[-k-2±1)]/(2k) =-1/2-1/k±1/(2k) k=3,x不是整数，不符合已知条件; k=-1/3 x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k) =[-k-2±1)]/(2k) =-1/2-1/（-1／3）±1/(-2／3) =5/2±3/2 x=1,4,符合已知条件; （3）-3k^2+8k+4=2^2 k=0,8/3,但k≠0 k=8/3 x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k) =-1/2-1/k±2/(2k) =-1/2-1/k±1/k x不是整数，不符合已知条件。 （4）-3k^2+8k+4=9=3^2 k=1,5/3 k=1 x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k) =(-1-2±3)/2 =(-3±3)/2 x=0，-3是整数，符合已知条件 k=5/3 x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k) =(-5/3-2±3)/(2*5/3) =(-11±9)/10 x不是整数，不符合已知条件。 可知，符合已知条件的k值只有 k＝-1/3，1

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