验证下列函数是否是所给方程的解,如果是,是通解还是特解? dy/dx+y=x y=e的-x次+x-1

dx/dt+9x=0 x=c1cos3t+c2sin3t
y〃=y平方+x平方 y=1/x

1. dy/dx+y=x
y=e^(-x)+x-1,
dy/dx=-e^(-x)+1,
满足dy/dx+y=x ，
∴y=e^(-x)+x-1是dy/dx+y=x 的特解。

2.x=c1cos3t+c2sin3t
dx/dt=-3c1sin3t+3c2cos3t,
不满足dx/dt+9x=0，
∴x=c1cos3t+c2sin3t 不是dx/dt+9x=0的解。

3.y=1/x,
y'=-1/x^2,y''=2/x^3,
y=1/x不满足y〃=y平方+x平方，不是y〃=y平方+x平方的解。

答： 先解齐次方程 dy/dx+y/x=0,dy/y=-dx/x,积分得 y=c/x,c为常数，另外y=0也是微分方程的解， 可以认为包含在y=c/x内（c=0). 现在解dy/dx+y/x=a(inx)y^2 设y=u*c/x,dy/dx=du/dx*c/x-cu/x^2 代入方程得du/dx*c/x=a(inx)*u^2c^2/x^2,化为 du/u^2=ac*(inx/x)*dx,积分得 -1/u=1/2ac(inx)^2+b,b为常数。 u=xy/c,代入得 y=-2c/[2bx+acx(inx)^2] 这就是微分方程的通解，其中b,c为任意常数。

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