泊肃叶定律的推导是怎样的？
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- 提问者网友：溺爱和你
- 2021-04-01 15:53
泊肃叶定律的推导是怎样的？
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- 五星知识达人网友：洎扰庸人
- 2021-04-01 16:05
三、泊肃叶定律
由以上分析可见, 确定黏性损耗w的大小是进行黏性流体远距离输送的关键问题之一。如石油输油管的设计, 自来水管道和废水排放管道的设计，工厂流体产品的输送等, 都必须根据w的数据来提供适当的压强差或高度差, 以使出口处流体的压强或速率满足所需要求。黏性流体在水平放置的圆形截面的管道中作层流时, 理论上可以算得流量为
, (5-47)
式中h是流体的黏度，p1-p2是管道两端的压强差，l和r分别是管道的长度和半径。式(5-47)称为泊肃叶(J.L.M.Poiseuille, 1799-1869)定律。根据泊肃叶定律可以求得黏性损耗w。管道中流体的平均流速可以表示为
.(5-48)
对于水平放置的管道, 式(5-46)变为
w = p1 - p2 .(5-49)
从式(5-48)中解出(p1-p2 ), 代入式(5-49), 得
(5-50)
上式表明, 流体在水平圆管中作层流时，黏性损耗与平均流速成正比。 *四、湍流和雷诺数
流体在管道中流动并不始终保持层流，由于流速和其他条件的不同，流动会出现另一种形式, 即湍流。所谓湍流, 就是流体中出现了沿垂直于管轴方向的速度分量的不规则流动。当湍流出现时，管中截面上每一点的速度大小和方向都在不断变化，能量损耗w 不再与平均流速成正比，而是与平均流速的平方成正比。
实验表明，发生湍流的临界流速与一个无量纲的量Re相对应。Re由下式表示
, (5-51)
式中r、h和v分别是流体的密度、黏度和流速，r是管道的半径。这个量Re称为雷诺数。由层流过渡到湍流的雷诺数，称为临界雷诺数，记为Rec。圆形管道的临界雷诺数Rec在2000~2600的范围内。对于给定的管道和给定的流体，并保持温度不变，式(5-51)中r、h和r都是确定的，只有v是可以改变的。当流速v的值使雷诺数Re处于临界值Rec时，此时的流速就是临界流速vc，并由下式定义
(5-52)
如果流速从低于vc值增大到高于vc值，那么流动将会从层流转变为湍流。由于临界雷诺数Rec 不是一个明确的数而是一个数值范围，所以vc 也是一个数值范围。
*五、斯托克斯黏性公式
当固体物在黏性流体中作相对运动时，固体物将受到流体的阻力作用。在相对运动速率不大时，阻力主要来自流体的黏力，并称为黏性阻力。由于固体物的表面附着一层流体，这层流体随固体物一起运动，在固体物表面周围的流体中必然形成一定的速率梯度，从而在各流层之间产生黏力，阻碍固体物作相对运动。
当固体小球以不大的速率在流体中运动时，理论上可以证明它所受黏性阻力F的大小由下式决定
F = 6 ph r v , (5-53)
式中h是流体的黏度，r是小球的半径，v是小球相对流体的运动速率。上式所表示的规律称为斯托克斯(G.G.Stokes, 1819-1903)黏性公式。这个公式有很多重要应用，如测定流体的黏度，测定小液滴的半径，测定电子的电量，以及测定阿伏伽德罗常量
§6-1简谐振动
简谐振动是最简单、最基本的振动，任何复杂的振动都可由两个或多个简谐振动合成而得到。我们的讨论就从简谐振动开始。
一、简谐振动的基本特征
在一个光滑的水平面上，有一个一端被固定的轻弹簧，弹簧的另一端系一小球，如图6-1所示。当弹簧呈松弛状态时，小球在水平方向不受力的作用，此时小球处于点O，该点称为平衡位置。若将小球向右移至点M，弹簧被拉长，这时小球受到弹簧所产生的、方向指向点O的弹性力F的作用。将小球释放后，小球就在弹性力F的作用下左右往返振动起来，并永远振动下去。
为了描述小球的这种运动，我们取小球的平衡位置O为坐标原点，取通过点O的水平线为x轴。如果小球的位移为x，它所受弹性力F可以表示为
, (6-1)
式中k为所取轻弹簧的劲度系数，负号表示弹性力F的方向与位移的方向相反。如果小球的质量为m，根据牛顿第二定律，小球的运动方程可以表示为
. (6-2)
将式(6-1)代入式(6-2)，得
,
或者改写为
,(6-3)
式中
.(6-4)
式(6-3)是小球的运动方程。这个方程显示了小球受力的基本特征，即在运动过程中，小球所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。
由运动方程可以解得小球在振动过程中位移x与时间t的关系。式(6-3)的解可以写为以下两种形式
, (6-5)
或
,(6-6)
式中A和j都是积分常量，在振动中它们都具有明确的物理意义，对此我们以后再作讨论。式(6-5)和式(6-6)在物理上具有同样的意义，以后我们只取式(6-5)的形式。
上面我们分析了由轻弹簧和小球所组成的振动系统作无摩擦振动的例子，这样的振动系统称为弹簧振子。弹簧振子的振动是典型的简谐振动，它表明了简谐振动的基本特征。从分析中可以看出，物体只要在形如 F = -kx的线性回复力的作用下运动，其位移必定满足微分方程式(6-3)，而这个方程的解就一定是时间的余弦(或正弦)函数。简谐振动的这些基本特征在机械运动范围内是等价的，其中的任何一项都可以作为判断物体是否作简谐振动的依据。但是，由于振动的概念已经扩展到了物理学的各个领域，任何一个物理量在某定值附近作往返变化的过程，都属于振动，于是我们可对简谐振动作如下的普遍定义：任何物理量x的变化规律若满足方程式
,
并且w是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化过程就是简谐振动
二、描述简谐振动的特征量
振幅、周期(或频率)和相位是描述简谐振动的三个重要物理量，若知道了某简谐振动的这三个量，该简谐振动就完全被确定了，故称描述简谐振动的特征量。
1. 振幅
振动物体离开平衡位置的最大幅度称为振幅。在简谐振动
中，A就是振幅。在国际单位制中，机械振动振幅的单位是m (米)。
2. 周期
振动物体完成一次振动所需要的时间, 称为振动周期, 常用T表示；在1秒时间内所完成振动的次数, 称为振动频率, 常用n表示。振动物体在2 p秒内所完成振动的次数, 称为振动角频率, 就是式(6-5)中的w。显然角频率w、频率n和周期T三者的关系为
， . (6-7)
在国际单位制中，周期T、频率n和角频率w的单位分别是s(秒)、Hz(赫兹)和rad × s-1(弧度/秒)。
3. 相位和初相位
在式(6-5)中的w t+j称为简谐振动的相位，单位是rad (弧度)。在振幅一定、角频率已知的情况下，振动物体在任意时刻的运动状态(位置和速度)完全取决于相位w t+j。这从下面的分析中会看得更清楚。将式(6-5)两边对时间求一阶导数，可以得到物体振动的速度
. (6-8)
由式(6-5)和式(6-8)两式可以看出，在振幅A和角频率w已知的情况下，振动物体的位置和速度完全由相位w t+j所决定。我们已经知道，位置和速度是表示一个质点在任意时刻运动状态的充分而必要的两个物理量。相位中的j称为初相位，在振幅A和角频率w已知的情况下，振动物体在初始时刻的运动状态完全取决于初相位j。在式(6-5)和式(6-8)中令t = 0, 则分别成为下面的形式
(6-9)
式中x0和v0分别是振动物体在初始时刻的位移和速度, 这两个量表示了振动物体在初始时刻的运动状态, 也就是振动物体的初始条件。
由以上分析可见, 确定黏性损耗w的大小是进行黏性流体远距离输送的关键问题之一。如石油输油管的设计, 自来水管道和废水排放管道的设计，工厂流体产品的输送等, 都必须根据w的数据来提供适当的压强差或高度差, 以使出口处流体的压强或速率满足所需要求。黏性流体在水平放置的圆形截面的管道中作层流时, 理论上可以算得流量为
, (5-47)
式中h是流体的黏度，p1-p2是管道两端的压强差，l和r分别是管道的长度和半径。式(5-47)称为泊肃叶(J.L.M.Poiseuille, 1799-1869)定律。根据泊肃叶定律可以求得黏性损耗w。管道中流体的平均流速可以表示为
.(5-48)
对于水平放置的管道, 式(5-46)变为
w = p1 - p2 .(5-49)
从式(5-48)中解出(p1-p2 ), 代入式(5-49), 得
(5-50)
上式表明, 流体在水平圆管中作层流时，黏性损耗与平均流速成正比。 *四、湍流和雷诺数
流体在管道中流动并不始终保持层流，由于流速和其他条件的不同，流动会出现另一种形式, 即湍流。所谓湍流, 就是流体中出现了沿垂直于管轴方向的速度分量的不规则流动。当湍流出现时，管中截面上每一点的速度大小和方向都在不断变化，能量损耗w 不再与平均流速成正比，而是与平均流速的平方成正比。
实验表明，发生湍流的临界流速与一个无量纲的量Re相对应。Re由下式表示
, (5-51)
式中r、h和v分别是流体的密度、黏度和流速，r是管道的半径。这个量Re称为雷诺数。由层流过渡到湍流的雷诺数，称为临界雷诺数，记为Rec。圆形管道的临界雷诺数Rec在2000~2600的范围内。对于给定的管道和给定的流体，并保持温度不变，式(5-51)中r、h和r都是确定的，只有v是可以改变的。当流速v的值使雷诺数Re处于临界值Rec时，此时的流速就是临界流速vc，并由下式定义
(5-52)
如果流速从低于vc值增大到高于vc值，那么流动将会从层流转变为湍流。由于临界雷诺数Rec 不是一个明确的数而是一个数值范围，所以vc 也是一个数值范围。
*五、斯托克斯黏性公式
当固体物在黏性流体中作相对运动时，固体物将受到流体的阻力作用。在相对运动速率不大时，阻力主要来自流体的黏力，并称为黏性阻力。由于固体物的表面附着一层流体，这层流体随固体物一起运动，在固体物表面周围的流体中必然形成一定的速率梯度，从而在各流层之间产生黏力，阻碍固体物作相对运动。
当固体小球以不大的速率在流体中运动时，理论上可以证明它所受黏性阻力F的大小由下式决定
F = 6 ph r v , (5-53)
式中h是流体的黏度，r是小球的半径，v是小球相对流体的运动速率。上式所表示的规律称为斯托克斯(G.G.Stokes, 1819-1903)黏性公式。这个公式有很多重要应用，如测定流体的黏度，测定小液滴的半径，测定电子的电量，以及测定阿伏伽德罗常量
§6-1简谐振动
简谐振动是最简单、最基本的振动，任何复杂的振动都可由两个或多个简谐振动合成而得到。我们的讨论就从简谐振动开始。
一、简谐振动的基本特征
在一个光滑的水平面上，有一个一端被固定的轻弹簧，弹簧的另一端系一小球，如图6-1所示。当弹簧呈松弛状态时，小球在水平方向不受力的作用，此时小球处于点O，该点称为平衡位置。若将小球向右移至点M，弹簧被拉长，这时小球受到弹簧所产生的、方向指向点O的弹性力F的作用。将小球释放后，小球就在弹性力F的作用下左右往返振动起来，并永远振动下去。
为了描述小球的这种运动，我们取小球的平衡位置O为坐标原点，取通过点O的水平线为x轴。如果小球的位移为x，它所受弹性力F可以表示为
, (6-1)
式中k为所取轻弹簧的劲度系数，负号表示弹性力F的方向与位移的方向相反。如果小球的质量为m，根据牛顿第二定律，小球的运动方程可以表示为
. (6-2)
将式(6-1)代入式(6-2)，得
,
或者改写为
,(6-3)
式中
.(6-4)
式(6-3)是小球的运动方程。这个方程显示了小球受力的基本特征，即在运动过程中，小球所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。
由运动方程可以解得小球在振动过程中位移x与时间t的关系。式(6-3)的解可以写为以下两种形式
, (6-5)
或
,(6-6)
式中A和j都是积分常量，在振动中它们都具有明确的物理意义，对此我们以后再作讨论。式(6-5)和式(6-6)在物理上具有同样的意义，以后我们只取式(6-5)的形式。
上面我们分析了由轻弹簧和小球所组成的振动系统作无摩擦振动的例子，这样的振动系统称为弹簧振子。弹簧振子的振动是典型的简谐振动，它表明了简谐振动的基本特征。从分析中可以看出，物体只要在形如 F = -kx的线性回复力的作用下运动，其位移必定满足微分方程式(6-3)，而这个方程的解就一定是时间的余弦(或正弦)函数。简谐振动的这些基本特征在机械运动范围内是等价的，其中的任何一项都可以作为判断物体是否作简谐振动的依据。但是，由于振动的概念已经扩展到了物理学的各个领域，任何一个物理量在某定值附近作往返变化的过程，都属于振动，于是我们可对简谐振动作如下的普遍定义：任何物理量x的变化规律若满足方程式
,
并且w是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化过程就是简谐振动
二、描述简谐振动的特征量
振幅、周期(或频率)和相位是描述简谐振动的三个重要物理量，若知道了某简谐振动的这三个量，该简谐振动就完全被确定了，故称描述简谐振动的特征量。
1. 振幅
振动物体离开平衡位置的最大幅度称为振幅。在简谐振动
中，A就是振幅。在国际单位制中，机械振动振幅的单位是m (米)。
2. 周期
振动物体完成一次振动所需要的时间, 称为振动周期, 常用T表示；在1秒时间内所完成振动的次数, 称为振动频率, 常用n表示。振动物体在2 p秒内所完成振动的次数, 称为振动角频率, 就是式(6-5)中的w。显然角频率w、频率n和周期T三者的关系为
， . (6-7)
在国际单位制中，周期T、频率n和角频率w的单位分别是s(秒)、Hz(赫兹)和rad × s-1(弧度/秒)。
3. 相位和初相位
在式(6-5)中的w t+j称为简谐振动的相位，单位是rad (弧度)。在振幅一定、角频率已知的情况下，振动物体在任意时刻的运动状态(位置和速度)完全取决于相位w t+j。这从下面的分析中会看得更清楚。将式(6-5)两边对时间求一阶导数，可以得到物体振动的速度
. (6-8)
由式(6-5)和式(6-8)两式可以看出，在振幅A和角频率w已知的情况下，振动物体的位置和速度完全由相位w t+j所决定。我们已经知道，位置和速度是表示一个质点在任意时刻运动状态的充分而必要的两个物理量。相位中的j称为初相位，在振幅A和角频率w已知的情况下，振动物体在初始时刻的运动状态完全取决于初相位j。在式(6-5)和式(6-8)中令t = 0, 则分别成为下面的形式
(6-9)
式中x0和v0分别是振动物体在初始时刻的位移和速度, 这两个量表示了振动物体在初始时刻的运动状态, 也就是振动物体的初始条件。
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