如图,OA=OB,AC=BD,且OA⊥AC，OB⊥BD，M是CD的中点，求证：OM平分∠AOB

如图,OA=OB,AC=BD,且OA⊥AC，OB⊥BD，M是CD的中点，求证：OM平分∠AOB

OA=OB,AC=BD,∠OAC=∠OBD=90°，
所以△AOC≌△OBD，
∴OC=OD, ∠OAC=∠ BOD，
M是CD的中点，MC=MD,又OM=OM,
所以△OMC≌△OMD，
则∠COM=∠ DOM，
∴∠AOC+∠COM =∠ BOD+∠ DOM，
即∠AOM=∠ BOM，
所以OM平分∠AOB

证明：连接oc、od 因为oa⊥ac，ob⊥bd 所以∠a=∠b 在三角形aoc和三角形bod中 oa=ob ∠a=∠b ac=bd 所以三角形aoc全等于三角形bod 所以oc=od，∠aoc=∠bod 所以三角形cod为等腰三角形 因为∠aom=∠bom 所以∠aom-∠aoc=∠bom-∠bod 即∠com=∠dom 所以om为三角形cod的顶角平分线 所以om为三角形cod的高（等腰三角形的三线共位） 所以om⊥cd

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