如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切

如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DF=3，DE=2
①求值；
②求图中阴影部分的面积．

证明：（1）连接OD ∵OA=OD，∴∠1=∠2 ∵∠1=∠3，∴∠2=∠3 ∴OD∥AF ∵DF⊥AF，∴OD⊥DF ∴DF是⊙O的切线 （2）①解：连接BD ∵直径AB ∴∠ADB=90° ∵圆O与BE相切 ∴∠ABE=90° ∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90° ∴∠DAB=∠DBE ∴∠DAB=∠FAD ∵∠AFD=∠BDE=90° ∴△BDE∽△AFD ∴数学公式 （2）②解：连接OC，交AD于G 由①，设BE=2x，则AD=3x ∵△BDE∽△ABE∴数学公式 ∴数学公式 解得：x1=2，数学公式（不合题意，舍去） ∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8 ∴AB=数学公式，∠1=30° ∴∠2=∠3=∠1=30°，∴∠COD=2∠3=60° ∴∠OGD=90°=∠AGC，∴AG=DG ∴△ACG≌△DOG，∴S△AGC=S△DGO ∴S阴影=S扇形COD=数学公式 解析分析：（1）作辅助线，连接OD．根据切线的判定定理，只需证DF⊥OD即可；（2）①连接BD．根据BE、DF两切线的性质证明△BDE∽△ABE；又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD；最后由相似三角形的对应边成比例求得数学公式；②连接OC，交AD于G．由①，设BE=2x，则AD=3x．利用①中的△BDE∽△ABE的对应边成比例的性质求得数学公式，据此列出关于x的方程，解方程求得x=2，继而可以求出AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8；然后由勾股定理知AB=4数学公式，在直角三角形ABE中求得∠1=30°；再由三角形的角平分线的性质、等腰三角形的性质及边角关系求得AG=DG，所以△ACG≌△DOG；最后根据两个全等三角形的面积相等的性质求扇形的面积即可．

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