三次曲线的众多的三次曲线之简介

三次曲线的众多的三次曲线之简介

《三次曲线枚举》首先根据平面曲线与直线相交所产生的交点数来定义曲线的阶，同时指出圆锥曲线的许多概念与性质可以被推广至高次曲线．例如牛顿提出了适合高次曲线的一般直径理论(在这理论中n次曲线的直径被定义为该曲线与一平行直线簇中每一条的n个交点的重心轨迹)和一般渐近线理论等。
Newton讨论了三次曲线的分类．他注意到任一三次曲线至少有一个实渐近方向，取与此方向平行的直线为坐标轴之一，牛顿导出了三次曲线方程的四类基本形式——事实上：Newton发现他们都是五种三次发散抛物线（Newton如是说，即divergent cubic parabolas）的投影，正像所有的圆锥曲线都可看作是圆的投影一样——由此Newton将所有三次曲线分为72类，而丢失了其中的六类（J．斯特林(Stirling，1717)、G．克莱姆(Cramer，1746)等人又追加了6种)。Newton的分类方法被欧拉批评，被认为缺乏一般性——不过这是后话。Plücker后来又改了更完善的219种分类。
在仿射平面上，每个三次曲线与无穷远线有三个交点，必有一实交点（另外两个也可以是实交点，也可以是共轭的虚交点）。交点处的切线即为渐近线，这样我们必得到一个实渐近线，并以此为轴，可化简为
(i)xy2+ey=ax3+bx2+cx+d，
(ii)xy=ax3+bx2+cx+d，
(iii)y2=ax3+bx2+cx+d，
(iv)y=ax3+bx2+cx+d．
第一类(i)xy2+ey=ax3+bx2+cx+d（立方双曲线）　这也是 最复杂的一类，两边同时乘以x，得
（xy+e/2)2=ax3+bx2+cx+d+1/4*e2（2）
讨论这两个方程的根
其中，比较著名的有蛇形线（Serpentine Curve）：
x2y+a2 y-b2x=0Fig1.一般立方双曲线
一般立方双曲线有三条渐近线，近似于双曲线.中间为卵形线（oval）
（三个分支，一内一外，另一个则在两渐近线同侧）
（2）中四实根互异
如右图册所示
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