试证方程（x^3)+x=e^x至少存在一个正实根。

试证方程（x^3)+x=e^x至少存在一个正实根。

定义 称随机变量列 依概率收敛于随机变量Z，如果对任意给定的 ，有
．
随机变量列 依概率收敛于A，有时记作
，
特别，Z可以是常数A或 ．
二 大数定律
1、切比雪夫（切贝绍夫）大数定律 设 为两两独立(或两两不相关)的随机变量列， 存在，且存在常数C，使 ，则对任何给定的 ，有

切比雪夫大数定律是切比雪夫不等式的推论（见(4.7)式）．
2、伯努利大数定律 设 是“事件A在试验中出现”的概率； 是n次独立重复试验（伯努利试验）中事件A出现的频率，则 依概率收敛于 ：
．
直观上表示当n充分大时 ．
3、辛钦大数定律 设 独立同分布随机变量，只要数学期望 存在，则
．
即当n充分大时，有 ．
三 中心极限定理 中心极限定理是关于“随机变量之和的极限分布是正态分布”的一系列定理的总称．
1、棣莫弗-拉普拉斯定理 设随机变量X服从参数为 的二项分布，则当n充分大时，X近似地服从正态分布 或近似地
．
(1) 局部定理 对于任意p(0
(2) 积分定理 对于任意p(0 ，
其中 ．
2、列维-林德伯格定理 设 是独立同分布随机变量，其数学期望和方差存在： ， ，则当n充分大时近似地
，
即对于任意实数 ，当n充分大时，有
，
其中 ；
，
其中 ．
三、典型例题及其分析
例5.2.1 在每次试验中，事件 发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计：在1000次试验中事件 发生的次数在400次至600次之间的概率.
设1000次试验中事件 发生的次数为 ，则 服从参数为 的二项分布，因而 再用切比雪夫不等式估计概率
在切比雪夫不等式 中，取 则事件 发生的次数在400次至600次之间的概率为

例5.2.2 如果随机变量 的概率密度为 ，且 存在，证明：对任意 有

利用切比雪夫不等式的证明方法.
由于函数 在 内单调递增，故事件 ，因此

证明中的关键一步是对被积函数乘以大于1的因子 ，使等式变为不等式.次题实际上是考查切比雪夫不等式的证明.
例5.2.3 设随机变量 相互独立，且服从相同的分布： 又 存在 .试证明：对任意 有

类似于切比雪夫大数定律的证明.
由于 的期望为

令 的方差为 ，则

由于 仍相互独立的，故 的期望和方差分别为

对 应用切比雪夫不等式知

当 时，由极限的夹逼定理知

本题是考查切比雪夫大数定律的证明技巧.结论的另一种写法为： ，即样本二阶矩依概率收敛于总体二阶矩.这是统计中的一重要结论.
例5.3.1 某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗户占20％，在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔数为随机变量
（1） 写出 的概率分布；
（2） 利用德莫佛－拉普拉斯定理，求被盗德索赔户数不少于14户且不多于30户的概率近似值.
(1988年考研题)
（1）据题意可知，100家索赔户中被盗的索赔户数 ，即 的分布律为

（2）由 利用德莫佛－拉普拉斯定理知

德莫佛－拉普拉斯定理在实际中由广泛的应用,运用此定理计算概率近似值时，其关键是：“标准化”和“正态近似”，当 越大时，所得得近似值越精确.
例5.3.2 计算器在进行加法时，将每一加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的，且在 上服从均匀分布.
（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？
（2） 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？
设每个加数的舍入误差为 ，由题设知 独立同分布，且 因此，可利用独立同分布的中心极限定理，即林德伯格－列维中心极限定理，来进行近似计算.
令 同上所设，由于 ，从而

（1） 记 为将1500个数相加的误差总和，则有 ，从而由林德伯格－列维中心极限定理知 近似地服从 ，从而

即误差总和的绝对值超过15的概率约为0.1802.
（2）记 表示将n个数相加的误差总和，要使 由林德伯格－列维定理可知， 近似服从 .故

即
查表得 故
故最多有443个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.

本题是独立同分布中心极限定理——林德伯格－列维定理的典型应用题，解题中关键还是要将所求问题“标准化”为定理所要求的形式.
综例5.4.1 现有一大批种子，其中良种占1/6，现从中任取6000粒种子，试分别用切比雪夫不等式和用中心极限定理计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率.
设随机变量 表示所取6000粒种子中良种的粒数，由题意可知， ,于是

（1） 要估计的概率为 相当于在切比雪夫不等式中取 于是由切比雪夫不等式可得

（2） 由德莫佛－拉普拉斯中心极限定理，二项分布 可用正态分布 近似。于是所求概率为

从本例看出：由切比雪夫不等式只能得出要求的概率不小于0.7685，而由中心极限定理可得到要求的概率近似等于0.9625.从而可知，由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的，但由于它的要求较低，只需知道 的期望与方差，因而在理论上由许多应用.
综例5.4.2 设 在区间 上连续，并记 设随机变量 服从 上的均匀分布， 独立且与 同分布，设
且
（1） 求 和 ，并证明：
（2） 对任意 ，利用中心极限定理估计概率 .
（1）由于 ，且 与 独立同分布，故

又因为 相互独立，故 也相互独立，从而

于是，对任意 ，由切比雪夫不等式得

所以
（2） 由林德伯格－列维中心极限定理知

因此，对任意 ，有

本题是大数定律与中心极限定理的一个综合题，其中涉及的期望与方差的计算以及极限定理的运用都是经典的方法，读者应当熟练掌握和运用.本题实际上是实际问题中，利用蒙特卡罗方法计算积分的理论依据之一.
综例5.4.3 抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品的次品率为10％，问至少应抽所少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9？
设 为至少应抽的产品数， 为其中的次品数，对 故由德莫佛－拉普拉斯定理有

当 充分大时,
由题意知

即
查表得 即

本题是一典型的用德莫佛－拉普拉斯定理近似计算的题.从解题过程中可以发现，二项分布 其实可看成是一个独立同分布的0-1分布的和，即 其中
综例5.4.4 设某种器件使用寿命（单位：小时）服从指数分布，平均使用寿命为20小时，具体使用时是当一器件损坏后立即更另一新器件，如此继续，已知每一器件进价为a元，试求在年计中应为此器件作多少元预算，才可以有95％的把握一年够用（定一年有2000个工作小时）.
设第 个器件的使用寿命为 由于 服从参数为 的指数分布，且 所以 ，从而

假定一年至少准备 件才能有95％的把握够用，若记 相互独立，则问题应为求 ，
由独立同分布的中心极限定理知

故
查表得 即
因此每年应为此器件至少作出118a（元）的预算，才能有95％的把握保证一年够用.

综例5.4.5 设某农贸市场某商品每日价格的变化是均值为0，方差为 的随机变量，即有关系式

其中， 表示第n天该商品的价格， 为均值为0，方差为 的独立同分布随机变量（ 表示第n天该商品价格的增加数），如果今天该商品的价格为100，求18天后该商品的价格在96与104之间的概率.
设 表示今天该商品的价格， 为18天后该商品的价格，则

因此，问题为求 而这个概率可利用林德伯格－列维的独立同分布中心极限定理来近似确定.
由于 且 是独立同分布的， 从而，由林德伯格－列维定理知

本题的关键是要将 表示为 从而将问题转化为求独立同分布随机变量和 落在某个区间的概率，而这个问题的解决只需用林德伯格－列维定理就可以了.
综例5.4.6 假设 是来自总体 的简单随机样本，已知 试证：当n充分大时，随机变量 近似服从正态分布，并指出其分布参数.
（1996年考研题）
若设 ，则由于 是来自总体 的简单随机样本.故 独立同分布，且与 有相同分布，从而 也是独立同分布，且

于是，根据独立同分布的林德伯格－列维中心极限定理，得

即

亦即 近似服从标准正态分布 ，故当n充分大时，近似地有

本题其实是数理统计中，大样本场合下统计量 得渐进分布得计算问题，这类问题在求统计量的抽样分布时是经常出现的，关键是利用独立同分布的中心极限定理来求它们的近似分布.

这种题要用中值定理来解！！
中值定理是f(a)＞0 f(b)＜0，那么在a和b之间必有一个根，
根据这个这道题就简单了，
我们只要找到a，b就行了，
令F(x)=x^3+x-e^x；
有F(1)=2-e＜0；
F(2)=8+2-e^2＞0
所以，在(1,2)上必有一个值使得F(x)=x^3+x-e^x=0，即（x^3)+x=e^x

另f（x）=（x^3)+x-e^x
f(0)=-1
f(e)>0
由连续
得f（x）与坐标轴有交点
故有一个正跟

f(x)=x^3+x-e^x
f(1)<0,f(5)=64+4-e^4=68-54.6>0
f(1)f(4)<0
1与4之间至少有一个根

令f（x）=（x^3)+x-e^x ，f连续
f（0）=-1<0，f（2）=10-e^2>0 所以f在（0,2）之间至少有一个零点 因（0，2）之间数都大于0
所以（x^3)+x=e^x至少存在一个正实根

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