设f(x),g(x)是数域F上的多项式，证明：若（f(x),g(x)）=1,则（f(x)g(x)，f(x)+g(x)）=1
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解决时间 2021-12-16 15:10
- 提问者网友：说多了都是废话
- 2021-12-16 10:27
设f(x),g(x)是数域F上的多项式，证明：若（f(x),g(x)）=1,则（f(x)g(x)，f(x)+g(x)）=1
最佳答案
- 五星知识达人网友：几杯薄酒
- 2021-12-16 12:03
存在多项式u,v使得uf+vg=1
容易验证
[-(u-v)^2]fg + [v+u(u-v)f](f+g)=1
直接看因子分解也可以，如果fg和f+g的最大公因子是d，对d做因子分解，可以不妨设d=d1d2，其中d1是f的因子，d2是g的因子，那么d1和d2都整除f+g，得到d1,d2都是1或-1
容易验证
[-(u-v)^2]fg + [v+u(u-v)f](f+g)=1
直接看因子分解也可以，如果fg和f+g的最大公因子是d，对d做因子分解，可以不妨设d=d1d2，其中d1是f的因子，d2是g的因子，那么d1和d2都整除f+g，得到d1,d2都是1或-1
全部回答
- 1楼网友：心里无人自有人
- 2021-12-16 13:32
因为(f,g)=1
所以存在u，v,使得：fu+gv=1
fu+ghu+gv-ghu=1
(f+gh)*u+g*(v-hu)=1
因此有：(f+gh,g)=1
其实这种题只要构造出来就可以了~~
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