f(x)=log4(4^x+1)-1/2x(k为实数)是偶函数， 设g(x)=log4(a*2^x-4/3a),若函数f(x)与函数g(x)图象且只有一个交点,求实数a的取值范围

f(x)=log4(4^x+1)-1/2x(k为实数)是偶函数， 设g(x)=log4(a*2^x-4/3a),若函数f(x)与函数g(x)图象且只有一个交点,求实数a的取值范围

1.证明：因为f(x)=log4(4^x+1)-1/2x

则f(-x)=log4[4^(-x)+1]+1/2x

=log4[(4^x+1)/(4^x)]+1/2x

=log4(4^x+1)-log4(4^x)+1/2x

=log4(4^x+1)-x+1/2x

=log4(4^x+1)-1/2x =f(x)

所以f(x)为偶函数

2. 因为函数f(x)与函数g(x)图象且只有一个交点

所以f(x)=g(x)只有一个解,即f(x)-g(x)=0只有一个解

所以log4(4^x+1)-1/2x-log4(a*2^x-4/3a)=0

即log4(4^x+1)-log4(a*2^x-4/3a)-1/2x=0

得log4[(4^x+1)/(a*2^x-4/3a)]=1/2x

化为指数式得4^(1/2x)=(4^x+1) / (a*2^x-4/3a)

即2^x=[2^(2x)+1] / (a*2^x-4/3a) 得(a*2^x-4/3a)*2^x=2^(2x)+1

整理得(a-1)* (2^x)^2 -4/3a*（2^x）-1=0有一个解

当a=1时 -4/3*（2^x）-1=0 得到2^x=-3/4<0

因此a不等于1

把2^x看作t，则(a-1)* (2^x)^2 -4/3a*（2^x）-1=0变成(a-1)* t^2 -4/3a*t-1=0有一个解

即b^2-4ac=0,则有（-4/3a）^2+4(a-1)=0

整理得4a^2+9a-9=0 解得a=-3或a=3/4

所以实数a的取值范围为{-3，3/4}

题目不明：

f(x)=log4(4^x+1)-1/2x 4^x？ 1/2x？x在分子上还是分母上 k?

g(x)=log4(a*2^x-4/3a) a*2^x? 4/3a? a在分子上还是分母上

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息