如何证明如果一个多项式函数有界那么它必然为常函数？
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解决时间 2021-03-20 21:35
- 提问者网友：皆是孤独
- 2021-03-20 01:07
如何证明如果一个多项式函数有界那么它必然为常函数？
最佳答案
- 五星知识达人网友：孤老序
- 2021-03-20 01:22
你看这样可不可以:
先给出多项式函数一般表达:an*xn^n+...+a1*x1+x0
若他本身非常数且有界M，不妨设上界。（下界等价）那么满足
an*xn^n+...+a1*x1+x0-M<=0
用代数基本定理，上面不等式左边可以变成
（x1-k1）^p1*（x2-k2）^p2*....*（xm-km）^pm 这里m为下脚标，p1+...+pm=n
也就是对任意x,满足不等式
（x1-k1）^p1*（x2-k2）^p2*....*（xm-km）^pm<=0
那么我们只要取x大于等于max（x1,..,xm），就有（x1-k1）^p1*（x2-k2）^p2*....*（xm-km）^pm>0，跟假设矛盾
因此用反证法知f（x）=C C为常数
先给出多项式函数一般表达:an*xn^n+...+a1*x1+x0
若他本身非常数且有界M，不妨设上界。（下界等价）那么满足
an*xn^n+...+a1*x1+x0-M<=0
用代数基本定理，上面不等式左边可以变成
（x1-k1）^p1*（x2-k2）^p2*....*（xm-km）^pm 这里m为下脚标，p1+...+pm=n
也就是对任意x,满足不等式
（x1-k1）^p1*（x2-k2）^p2*....*（xm-km）^pm<=0
那么我们只要取x大于等于max（x1,..,xm），就有（x1-k1）^p1*（x2-k2）^p2*....*（xm-km）^pm>0，跟假设矛盾
因此用反证法知f（x）=C C为常数
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