高中数学竞赛问题：求方程组实数解5(x+1/x)=12(y+1/y)=13(z+1/z), xy+yz+zx=1 提示：可用三角换元也可死算

高中数学竞赛问题：求方程组实数解5(x+1/x)=12(y+1/y)=13(z+1/z), xy+yz+zx=1 提示：可用三角换元也可死算

求方程组实数解5(x+1/x)=12(y+1/y)=13(z+1/z), xy+yz+zx=1
解:由xy+yz+zx=1,得1/x+1/y+1/z=1/xyz........................(1)
由(1/x+1/y+1/z)²=1/x²+1/y²+1/z²+2(1/xy+1/yz+1/zx)=1/x²+1/y²+1/z²+2(x+y+z)/xyz=1/(xyz)²
得1/x²+1/y²+1/z²=1/(xyz)²-2(x+y+z)/xyz......................(2)
由(x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)=x²+y²+z²+2
得x²+y²+z²=(x+y+z)²-2.................................................(3)
令5(x+1/x)=12(y+1/y)=13(z+1/z)=m,则
x+1/x=m/5......(a) y+1/y=m/12 ........(b) z+1/z=m/13...........(c)
(a)²+(b)²+(c)²得;
x²+y²+z²+6+1/x²+1/y²+1/z²=m²(1/25+1/144+1/169)=32161m²/608400
将(2)(3)代入得:
(x+y+z)²-2(x+y+z)/xyz+1/(xyz)²=32161m²/608400-4
即有 [(x+y+z)-1/xyz]²=32161m²/608400-4
于是得 (x+y+z)-1/xyz=√(32161m²/608400-4)...............(4)
(a)+(b)+(c)得:
(x+y+z)+(1/x+1/y+1/z)=m(1/5+1/12+1/13)=281m/780
将(1)代入得:
(x+y+z)+1/xyz=281m/780.............................................(5)
由(4)+(5)得;
x+y+z=(1/2)[281m/780+√(32161m²/608400-4)]..........(6)
(5)-(4)得:
1/xyz=(1/2)[281m/780-√(32161m²/608400-4)].............(7)

设xy=a    xz=b    yz=c    则4a+3c=12    3c-2b=1    7a+5b=4

    解得   a=47/7    b=-61/6    c=-58/9

 即    xy =47/7    xz =-61/6    yz=-58/9

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