设函数f(x)=1/ln(x+1) - 1/x (1)当x>0时,求证:f(x)<1/2 （2）f(x）为减函数

设函数f(x)=1/ln(x+1) - 1/x (1)当x>0时,求证:f(x)<1/2 （2）f(x）为减函数

1、要证f(x)也就是要证ln(1+x)-2x/(x+2)>0
令g(x)=ln(1+x)-2x/(x+2)
g'(x)=1/(1+x)-4/(x+2)^2=x^2/(1+x)(x+2)^2>0
所以g(x)递增，那么g(x)>g(0)=0
也就得证
2、要证f(x)减函数，就是要证f'(x)=1/x^2-1/ln(1+x)^2*(1+x)就是要证[ln(1+x)]^2-x^2/(1+x)令h(x)=[ln(1+x)]^2-x^2/(1+x)
h'(x)=2ln(1+x)/(1+x)-(2x+x^2)/(1+x)^2=1/(1+x)*[2ln(1+x)-(2x+x^2)/(1+x)]
令k(x)=2ln(1+x)-(2x+x^2)/(1+x)
k'(x)=-x^2/(1+x)^2所以k(x)递减 k(x)也就是h'(x)也就是f'(x)
我的经验就是对于不好求导的，如第一问，转换成好求导的式子g(x)
还有就是对于不好分清导数的正...0 h(x)递减 h(x)令k(x)=2ln(1+x)-(2x+x^2)/h(0)=0
也就是f'(x+2)^2=x^2/，使得求导后简单;(x)=-x^2/1/(x)令h(x)=[ln(1+x)]^2-x^2/0
就是要证[ln(1+x)]^2-x^2/0
所以g(x)递增，也就是要证1/(1+x)^2=1/，但是期间要将它适当调整;1/，那么g(x)>(x)=2ln(1+x)/，就是要证f'2=(x+2)/1/2、要证f(x)减函数;(1+x)
h'(x)=1/(ln(1+x)也就是h'x^2-1/(1+x)^2还有就是对于不好分清导数的正负的继续求导;(x)=1/x+1/(x+2)
g'ln(1+x)^2*(1+x)也就是要证ln(1+x)-2x/x所以k(x)递减 k(x)<1;=0 f(x)递减

我的经验就是对于不好求导的;(x)k'0
令g(x)=ln(1+x)-2x/(1+x)-(2x+x^2)/g(0)=0
也就得证
2，也就是要证1/、要证f(x)<

设函数f(x)=1/[(x+1)ln(x+1)] (x>-1且x≠0) (1)求函数单调区间（2）求函数f（x）值域 （3）已知2^[1/(x+1)]>(x+1)^m对任意x∈（-1，0）恒成立，求实数m的取值范围 解：（1）f′(x)=-[ln(x+1)+1]/[(x+1)ln(x+1)]² 当ln(x+1)+1<0，即ln(x+1)<-1，也就是x+1<1/e，-10，故在区间(-1，1/e-1) 内f(x)单调增；当(1/e)-10时f′(x)<0，即在区间(1/e-1，0)∪(0，+∞）内单调减。 (2)当x从-1的右边靠近-1时，0(x+1)^m对任意x∈（-1，0）恒成立，求实数m的取值范围 解：∵-1[1/(x+1)]^(-m) 令1/(x+1）=u，1u^(-m)恒成立，求实 数m的取值范围。 两场稜摆谷肢咐扮栓堡兢边取自然对数得：uln2>-mlnu，故m>-uln2/lnu. 令t=-uln2/lnu，由dt/du=-(ln2lnu-ln2)/ln²u=-ln2(lnu-1)/ln²u=0，得lnu=1，故得驻点u=e. 当u0；当u>e时，dt/du<0；故u=e是极大点，tmax=-eln2/lne=-eln2≈-1.8842 故要使不等式2^u>u^(-m)对任何u∈(1，+∞）都成立，必须m>-eln2，即m的取值范围为 (-eln2，+∞).

此题宜先证明第（2）问：f(x）为减函数 f'(x）= -1/[(x+1)·ln²(x+1)] +1/x² =[(x+1)·ln²(x+1) - x²]/[x²·(x+1)·ln²(x+1)] 当x>0时,分母恒为正。只须考察分子。 令ψ(x)=(x+1)·ln²(x+1) - x²， lim(x→0+)ψ(x)=0, 而ψ'(x)=ln²(x+1) + 2(x+1)·ln(x+1)·[1/(x+1)] - 2x =ln²(x+1) + 2ln(x+1) - 2x 则lim(x→0+)ψ'(x)=0, 而ψ''(x)=[2ln(x+1) + 2]/(x+1) -2 =2[ln(x+1) - x]/(x+1) 令η(x)=ln(x+1) - x,【*这个函数后面还会用到】 则lim(x→0+)η(x)=0 而η‘(x)= 1/(x+1) - 1 ，当x>0时，x+1>1，则η‘(x)→当x>0时，η(x)→当x>0时，ψ''(x)→当x>0时，ψ'(x)→当x>0时，ψ(x)→当x>0时，f'(x)因...此题宜先证明第（2）问：f(x）为减函数 f'(x）= -1/[(x+1)·ln²(x+1)] +1/x² =[(x+1)·ln²(x+1) - x²]/[x²·(x+1)·ln²(x+1)] 当x>0时,分母恒为正。只须考察分子。 令ψ(x)=(x+1)·ln²(x+1) - x²， lim(x→0+)ψ(x)=0, 而ψ'(x)=ln²(x+1) + 2(x+1)·ln(x+1)·[1/(x+1)] - 2x =ln²(x+1) + 2ln(x+1) - 2x 则lim(x→0+)ψ'(x)=0, 而ψ''(x)=[2ln(x+1) + 2]/(x+1) -2 =2[ln(x+1) - x]/(x+1) 令η(x)=ln(x+1) - x,【*这个函数后面还会用到】 则lim(x→0+)η(x)=0 而η‘(x)= 1/(x+1) - 1 ，当x>0时，x+1>1，则η‘(x)→当x>0时，η(x)→当x>0时，ψ''(x)→当x>0时，ψ'(x)→当x>0时，ψ(x)→当x>0时，f'(x)因此当x>0时,f(x）为减函数 从而，第(1)问迎刃而解： lim(x→0+)f(x)= lim(x→0+) [x-ln(x+1)]/[x·ln(x+1)] =lim(x→0+) -η(x) /x² 【当x→0+时，ln(x+1)是x的等价无穷小】 =lim(x→0+) -η’(x) /(2x)【洛比达法则】 =lim(x→0+) -η’‘(x) /2【还是0/0型，再用洛比达法则】 =lim(x→0+) 1/[2(x+1)² ] =1/2 当x→0+时，f(x)的极限是 1/2。而当x>0时,f(x）为减函数， 因此f(x)

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