（2010?津南区二模）从高处下落的小球，刚开始下落时小球的速度会越来越大，所受空气阻力也会随速度的增

（2010?津南区二模）从高处下落的小球，刚开始下落时小球的速度会越来越大，所受空气阻力也会随速度的增大而增大，如图是记录某一小球下落过程中，相隔同样时间小球不同位置情况的频闪摄影照片，通常把小球在图中B点时的速度称为下落过程中的收尾速度．（1）从图中可以看出该小球在BC段做什么运动？简要说明理由．（2）研究发现，相同环境条件下，空气对不同材质的球形物体的阻力大小与球的半径和速度都有关系，下表为某次研究的实验数据．g取10N/kg． 小球编号 1 2 3 4 小球质量m （×10-2 kg） 2 5 45 40 小球半径r（×10-3m） 0.5 0.5 1.5 2 小球的收尾速度v（m/s） 16 40 40 20①根据编号为1、2小球的数据，可以推导出当小球半径相同时，小球所受的空气阻f与球的收尾速度υ的关系式，请你写出推导过程．②选取表格中的数据，试用文字表述出小球所受的空气阻力f与球的半径r之间的关系．

（1）由题意知，照片上每两点间的时间相同，由图示小球的频闪照片可看出，BC段两点间距保持不变，即小球在相等时间内的路程相等，则小球做匀速直线运动．
（2）①由表中实验数据可知，编号为1、2两个小球所受空气阻力之比
f1
f2 =
G1
G2 =
m1g
m2g =
m1
m2 =
2×10?2kg
5×10?2kg =
2
5 ，
两小球的收尾速度之比
v1
v2 =
16m/s
40m/s =
2
5 ，由此可见
f1
f2 =
v1
v2 ，即在小球的半径不变时，空气阻力f与球的收尾速度V成正比．
设f=k?v，将小球1的数据代入公式，k=
f
v =
G
v =
mg
v =
2×10?2kg×10N/kg
16m/s =
1
80 N?s/m
所以空气阻力f与球的收尾速度υ的关系式是f=
v
80
②由表中实验数据可知，编号为2、3的小球收尾速度相同而小球半径不同，分析编号为2、3的实验数据可以得出：半径增大3倍．阻力增大9倍，说明在小球速度相同的情况下，阻力与球半径的平方成正比．
故答案为：（1）BC段两点间距保持不变，即小球在相等时间内的路程相等，小球做匀速直线运动．
（2）①f与υ的关系式是f=
v
80 ；②阻力f与半径的平方成正比．

（1）由频闪照片中看出，两点间距一直不变，由此可知该小球做的是匀速直线运动；小球处于平衡状态，根据二力平衡条件，所受重力与阻力相等，阻力f=g=mg=0.5kg×10n/kg=5n； （2）①编号为2、3的小球在达到收尾速度时，所受的空气阻力之比f2：f3=m2g：m3g=0.05kg×g：0.45kg×g=1：9， 小球半径之比：r2：r3=0.5×10-3m：1.5×10-3m=1：3，可见，球形物体所受空气阻力f与球的半径r的关系是当收尾速度一定时，f与球的半径的平方成正比关系； ②由编号为1、2两个小球的数据分析，在半径r相同的情况下， 收尾速度之比v1：v2=16m/s：40m/s=2：5，空气阻力之比f1：f2=m1g：m2g=0.02kg×g：0.05kg×g=2：5，可见球形物体所受空气阻力f与球的收尾速度v的关系是当球的半径一定时，f与收尾速度成正比关系． ③由①②可得f=mg=kr2v，将编号1中数据代入得： f=mg=2×10-2kg×g=k×（0.5×10-3m）2×16， 解得：k=50000； ∴f=mg=50000r2v， 设半径为4×10-3m、质量为m的小球的收尾速度是10m/s， 则：m×10n/kg=50000×（4×10-3m）2×10m/s， 解得：m=0.8kg=800g． 故答案为：（1）匀速直线，5； （2）①球的半径的平方，正；②收尾速度，正比；③800g．

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