如图，三棱柱中ABC-A1B1C1，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°，点M和N分别为线段A1B1和CC1上的点，且A1M=2MB1

如图，三棱柱中ABC-A1B1C1，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°，点M和N分别为线段A1B1和CC1上的点，且A1M=2MB1

解答：证明：（1）取AB中点E，连结CE，A₁B，A₁E，
∵AB=AA₁，∠BAA₁=60°，∴△BAA₁=60°是正三角形，
∴A₁E⊥AB，
∵CA=CB，∴CE⊥AB，
∵CE∩A₁E=E，
∴AB⊥面CEA₁，又∵A₁C在平面CEA₁内
∴AB⊥A₁C．…（6分）
（2）在BB₁上取点H，使BH=2HB₁，连接HN，HM，
则HM∩MN=M，MH不在平面A₁BC内．

∵A₁M=2MB₁，∴MH∥A₁B．
∴MH∥平面A₁BC．…（8分）
又∵MN∥平面A₁BC，MN、MH均在平面MNH内，
∴平面MNH∥平面A₁BC．…（10分）
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C∩平面MNH=NH，
侧面BB₁C₁C∩平面ABC=BC，
∴NH∥BC．…（12分）
再结合三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱CC₁∥BB₁，可得四边形BHNC为平行四边形，进而BH=CN．
又∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱CC₁=BB₁，
∴HB₁=NC₁．∴CN=2NC₁．…（14分）

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