解答题设函数f（x）对任意x，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）

答案:2 悬赏:10 手机版

解决时间 2021-12-20 10:51

提问者网友：嗝是迷路的屁
2021-12-20 07:26

解答题设函数f（x）对任意x，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-1
（1）求证：f（x）是奇函数
（2）判断f（x）的单调性并证明
（3）试问当-3≤x≤3时f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有说出理由

最佳答案

五星知识达人网友：詩光轨車
2021-12-20 08:05

解：（1）令x=y=0，f（0）=0
令y=-x
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0
∴f（x）是奇函数
（2）设x1＞x2
∴f（x1）-f（x2）=f（x1-x2）＜0
∴f（x）是减函数
（3）f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-3
f（-3）=3
由（2）知f（x）是减函数
∴最大值为3，最小值为-3解析分析：（1）先令x=y=0，求得f（0），再令y=-x构造f（-x）+f（x）=f（0）得结论．（2）先设x1＞x2，∴由主条件构造f（x1）-f（x2）=f（x1-x2）由x＞0时f（x）＜0得证．（3）由（2）知f（x）是减函数，则在端点处取得最大值和最小值．点评：本题主要考查抽象函数奇偶性和单调性以及函数最值的求法，这类问题用赋值法和性质的定义比较常见．

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1楼网友：拜訪者
2021-12-20 08:31

感谢回答，我学习了

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