如题求
(1)求f(0);
(2)求证:函数f(x)在R上单调递增函数。
设函数f(x)的定义域为R,当x<0时,0<f(x)<1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y)。
答案:1 悬赏:0 手机版
解决时间 2021-02-13 14:35
- 提问者网友:浮克旳回音
- 2021-02-12 15:29
最佳答案
- 五星知识达人网友:冷風如刀
- 2021-02-12 15:40
(1)
令 y = 0 得 f(x + 0 ) = f(x)*f(0) 即 f(x) = f(x) * f(0)
因 f(x) 不恒为零 ( x<0时,0<f(x)<1 )所以
f(0) = 1
(2)
先判别 x<0时 f(x) 是递增的:
令x<0时的任意两个值x1,x2 有 x1<x2
根据 f(x+y) = f(x)*f(y)
推得 f(x2 + x1-x2) = f(x2)* f(x1-x2)
得 f(x1) =f(x2) * f(x1-x2)
因 x1-x2<0 故 0 <f(x1-x2) <1
因为f(x1)和f(x2)均大于0,所以 f(x1) < f(x2)
因而x<0时是 单调递增的
再判别 x > 0 时 是单调递增
x > 0 时令 y = -x
根据 f(x+y) = f(x)*f(y)
得 f(0) = f(x) * f( -x)
即 f(x) * f(-x) = 1
根据函数图像或分析关系式f(x) = 1/f(-x) 不难得出
此时f(x) 是单调递增的
最后再综合 f(0) = 1 得出
函数f(x)在R上单调递增函数
令 y = 0 得 f(x + 0 ) = f(x)*f(0) 即 f(x) = f(x) * f(0)
因 f(x) 不恒为零 ( x<0时,0<f(x)<1 )所以
f(0) = 1
(2)
先判别 x<0时 f(x) 是递增的:
令x<0时的任意两个值x1,x2 有 x1<x2
根据 f(x+y) = f(x)*f(y)
推得 f(x2 + x1-x2) = f(x2)* f(x1-x2)
得 f(x1) =f(x2) * f(x1-x2)
因 x1-x2<0 故 0 <f(x1-x2) <1
因为f(x1)和f(x2)均大于0,所以 f(x1) < f(x2)
因而x<0时是 单调递增的
再判别 x > 0 时 是单调递增
x > 0 时令 y = -x
根据 f(x+y) = f(x)*f(y)
得 f(0) = f(x) * f( -x)
即 f(x) * f(-x) = 1
根据函数图像或分析关系式f(x) = 1/f(-x) 不难得出
此时f(x) 是单调递增的
最后再综合 f(0) = 1 得出
函数f(x)在R上单调递增函数
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