在三角形ABC中,|向量AB-向量BC|=|向量AC|=5,|向量AB|=2|向量BC|,求三角形ABC的面积.答案是等于5. 求过程

在三角形ABC中,|向量AB-向量BC|=|向量AC|=5,|向量AB|=2|向量BC|,求三角形ABC的面积.答案是等于5. 求过程

向量AB+向量BC=向量AC,
两边平方,AB^2+2AB·BC+BC ^2=AC^2=25,
∵|AB|=2|BC||,
∴5|BC|^2+2|AB|*|BC|*cosB=25,(1)
已知,|向量AB-向量BC|=|向量AC|=5,
两边平方,
|AB|^2-2|AB|*|BC|*cosB+BC^2=25,
5|BC|^2-2|AB|*|BC|*cosB=25,(2)
(1)+(2),10|BC|^2=50,
|BC|=√5,
|AB|=2√5,
由(1)式,cosB=(25-5*5)/(2|AB|*|BC|=0,
∴ ∴S△ABC=|AB|*|BC|/2=2√5*√5/2=5.

解： 因为向量cb=向量ab-ac 所以|cb|²=(ab-ac)*(ab-ac) =|ab|²+|ac|²-2向量ab*ac (*) 又向量ab*向量ac=（向量ab-向量ac）的模=2 即|cb|=向量ab*向量ac=2 所以由（*）式得： 2向量ab*ac＝|ab|²+|ac|²-2向量ab*ac 即 4向量ab*ac=|ab|²+|ac|² 由向量定义得：向量ab*ac＝|ab|*|ac|*cosa 则有|ab|*|ac|=向量ab*ac/cosa=2/cosa 由均值定理得：ab|²+|ac|²≥2|ab|*|ac| 所以 4|ab|*|ac|*cosa≥2|ab|*|ac| cosa≥1/2 则π/3≥a≥0 因为三角形面积s=1/2 *|ab|*|ac|*sina=1/2 *(2/cosa)*sina=sina/cosa=tana 所以当a=π/3时，三角形面积有最大值√3

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