数论急求，在线等，有追加：假设p是一个奇素数。证明同余方程x^4≡-1(mod p)有解当且仅当p形如8k+1

数论急求，在线等，有追加：假设p是一个奇素数。证明同余方程x^4≡-1(mod p)有解当且仅当p形如8k+1

很显然这是一道原根题。设g为p的一个原根，那么p的简化剩余系可表示为g^0,g^1,g^2,...,g^phi(p)。当然还有个小地方没解释，这个同余方程的解肯定是在p的简化剩余系中的，我想这个你要是也不知道的话估计更不知道什么是原根了，你自己想哦。方程转化为(g^i)^4≡-1。而-1在原根中的唯一表示是g^(phi(p)/2)。那么方程再次转化为(g^i)^4≡g^(phi(p)/2)。由原根指数的性质知：4i≡phi(p)/2(mod phi(p))。这样就证明了8|phi(p)，那么p就有形如8k+1了。呵呵

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