利用差分性质证明1×3+2×4+…+n×(n+2)=[n(n+1)(2n+7)]/6

用数值分析中的差分

是这样的，最近正在学这个：
令f(n)=[n(n+1)(2n+7)]/6;
Δf(i-1)=f(i)-f(i-1)=i*(i+2)=ai;
又原式为Σai=ΣΔf(i-1)=Δf(0)+Δf(1)+Δf(2)+...+Δf(n-1)=f(n)-f(0)=[n(n+1)(2n+7)]/6;

原式=(1^2＋2)＋(2^2＋4)＋...＋n^2＋2n=n(n＋1)(2n＋1)/6＋n(2n＋2)/2=n(n＋1)[(2n＋1)/6＋1]=n(n＋1)(2n＋7)/6。

(n-1)(n+1)=n^2-1

则1*2*3=2^3-2  2*3*4=3^3-3 ......

则原式=2^3+3^3+4^3+...+(n+1)^3-2-3-4-...(n+1)

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 所以2^3+3^3+4^3+...+(n+1)^3=[(n+1)(n+2)/2]^2-1

2+3+4+...+(n+1)=(2+n+1)n/2

所以原式=[(n+1)(n+2)/2]^2-1-(n+3)n/2

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