初三锐角三角函数竞赛训练题

初三锐角三角函数竞赛训练题

楼上的：角C>=90度，是推不出acosA>=hc bcosB>=hc

已知条件：accosA+bccosB<4S
运用正弦定理：
a=csinA/sinC，b=csinB/sinC
左边=(csinA/sinC)*c*cosA+(csinB/sinC)*c*cosB
=c^2(sinAcosA+sinBcosB)/sinC
=c^2[sin(2A)+sin(2B)]/(2sinC)
=c^2*sin(A+B)*cos(A-B)/sinC
=c^2*cos(A-B)
又，S=(1/2)acsinB=(1/2)bcsinA
所以
右边=4S=acsinB+bcsinA
=(csinA/sinC)*c*sinB+(csinB/sinC)*c*sinA
=2c^2*sinAsinB/sinC
=c^2[cos(A-B)-cos(A+B)]/sinC
=c^2[cos(A-B)+cosC]/sinC
由，左边<右边，得
cos(A-B)*sinC-cosCsinC-cosC<1
sinC-cosC=√2(sinCcos45-cosCsin45)=√2sin(C-45)<1
sin(C-45)<√2/2=sin45
所以，C-45<45 => C<90度

因为c是最大的边，所以∠C是最大角
反证法，如果角C>=90度，那么可以证明acosA>=hc bcosB>=hc
(hc为c边上的高)
因此accosA+bccosB>=4s 矛盾
所以∠C＜90°
所以三角形ABC是锐角三角形ABC

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