三棱锥S-ABC中，△ABC是正三角形，SB=2√5，SA=SC=2√3，M、N分别为AB、SB中点

三棱锥S-ABC中，△ABC是正三角形，SB=2√5，SA=SC=2√3，M、N分别为AB、SB中点，1.求面SAC垂直面ABC 2.求二面角N-CM-B的一个三角函数值 3.点B到面CMN的距离 高二

经过逆运算,底正三角形边长应为4,
取AC中点H,连结BH、SH，
∵△ABC和△SAC都是等腰△，
∴SH⊥AC，BH⊥AC，
∴〈SHB是二面角S-AC-B的平面角，
∵△ABC是正△，
∴BH=4*√3/2=2√3，
SH=√(SA^2-AH^2)=√（12-4）=2√2，
在△SHB中，SH^2+BH^2=20,
SB^2=20,
∴SH^2+BH^2=SB^2,
∴△SHB是RT△，
∴〈SHB=90°，
∴二面角S-AC-B是直二面角，
即平面SAC⊥平面ABC。
2、在平面SHB中，作NE⊥HB，
∵SH⊥平面ABC，（由前所述）
SH∈平面SHB，
∴平面SHB⊥平面ABC，
∴NE⊥平面ABC，
NE=SH/2=√2，
在底面ABC上作EF⊥CM，交CM于F，连结NF，设BH交CM于G，
EF/（AB/2）=GE/GB，
G是重心，GE=2BH/3-HB/2=HB/6，
∴EF=1/2，
根据三垂线定理，NF⊥CM，
∴《NFE就是二面角N-CM-B的平面角，
tan ∴二面角N-CM-B为arctan(2√2）。
3、S△CMB=BM*CM/2=2*2√3/2=2√3，
NE=√2，
VN-BCM=S△CMB*NE/3=2√6/3，
MN=SA/2=√3，
根据三角形中线公式，CN=3，
MC=2√3，
cos sin S△NMC=NC*NM*sin〈NMC/2=（3*√3*√3/2）/2=9/4，
设B至平面NMC距离为d,
VB-MNC=S△NMC*d/3=3d/4,
VN-BCM=VB-MNC,
2√6/3=3d/4,
d=8√6/9。
∴B至平面MNC的距离为8√6/9。

解

（1）取ac中点d，连接sd、db．

∵sa=sc，ab=bc∴sd⊥ac，bd⊥ac，

∴ac⊥平面sdb，又sb⊂平面sdb，

∴ac⊥sb．…（4分）

（2）∵ac⊥平面sdb，ac⊂平面abc，

∴平面sdb⊥平面abc．

过n作ne⊥bd于e，则ne⊥平面abc，

过e作ef⊥cm于f，连接nf，

则nf⊥cm，∠nfe为二面角n-cm-b的平面角．

∵平面sac⊥平面abc，sd⊥ac，

∴sd⊥平面abc．

又ne⊥平面abc，∴ne∥sd．

∵sn=nb，∴ne=(1/2)sd=(1/2)根号(sa^2-ad^2)=(1/2)跟（12-4）=根号2

且ed=eb．在正△abc中，ef=(1/4)mb=1/2，

在rt△nef中，tannfe=en/ef=2根号2

∴二面角n-cm-b的正切值为2根号2．…（8分）

（3）在rt△nef中，nf=根号(ef^2+en^2)=3/2，

∴s[][][]cmn=(1/2)cm nf =3根号3/2

s[][][]cmb=(1/2)bm cm =2根号3

设点b到平面cmn的距离为h，

∵vb-cmn=vn-cmb，ne⊥平面cmb，∴(1/3)s[][][]cmn*h=(1/3)s[][][]cmn*ne，

∴h=s[][][]cmb * ne / s[][][]cmn =4根号2/3．

即点b到平面cmn的距离为4根号2/3．．…（14分）

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