G的Sylow p-子群与不变子群N相交是N的Sylow p-子群
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解决时间 2021-01-29 19:36
- 提问者网友：蓝琪梦莎
- 2021-01-29 02:41
G的Sylow p-子群与不变子群N相交是N的Sylow p-子群
最佳答案
- 五星知识达人网友：撞了怀
- 2021-01-29 04:09
G是有限群，设P是G的一个Sylow p-子群，N是G的正规子群。
可得P∩N是P的子群，也是N的正规子群，PN是G的子群，P是PN的正规子群。(用定义验证即可)
由P∩N是P的子群，可得P∩N是一个p-群。
由P∩N是N的正规子群，和P是PN的正规子群，定义两个商群N/P∩N和PN/P。
可以定义一个N/P∩N到PN/P的自然映射，很容易验证其为同构映射，即得N/P∩N≌PN/P。
所以|N:P∩N|=|PN:P|，由于PN是G的子群则|PN|整除|G|，而P是G的Sylow p-子群，可得|PN:P|中没有p因子，即|N:P∩N|中没有p因子，又由P∩N是一个p-群，可得P∩N是N的Sylow p-子群。
可得P∩N是P的子群，也是N的正规子群，PN是G的子群，P是PN的正规子群。(用定义验证即可)
由P∩N是P的子群，可得P∩N是一个p-群。
由P∩N是N的正规子群，和P是PN的正规子群，定义两个商群N/P∩N和PN/P。
可以定义一个N/P∩N到PN/P的自然映射，很容易验证其为同构映射，即得N/P∩N≌PN/P。
所以|N:P∩N|=|PN:P|，由于PN是G的子群则|PN|整除|G|，而P是G的Sylow p-子群，可得|PN:P|中没有p因子，即|N:P∩N|中没有p因子，又由P∩N是一个p-群，可得P∩N是N的Sylow p-子群。
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- 1楼网友：我住北渡口
- 2021-01-29 04:28
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