已知2^a*5^b=2^c*5^d=10,求证：（a-1）（d-1）=（b-1）（c-1）

已知2^a*5^b=2^c*5^d=10,求证：（a-1）（d-1）=（b-1）（c-1）

证明：∵2^a•5^b=10=2×5,∴2^(a-1)•5^(b-1)=1,∴[2^(a-1)•5^(b-1)]^(d-1)=1^(d-1),①同理可证：[2^(c-1)•5^(d-1)]^(b-1)=1^(b-1),②由①②两式得[2^(a-1)•5^(b-1)]^(d-1)=[2^(c-1)•5^(d-1)]^(b-1),2^[(a-1)(d-1)]×5^[(b-1)(d-1)]=2^[(b-1)(c-1)]×5^[(b-1)(d-1)]2^[(a-1)(d-1)]=2^[(b-1)(c-1)]∴（a-1）（d-1）=（b-1）（c-1）．======以下答案可供参考======供参考答案1:2^a×5^b=2^c×5^d=10除以102^a×5^b/10=2^c×5^d/10=1(2^a/2)×(5^b/5)=(2^c/2)×(5^d/5)=12^(a-1)×5^(b-1)=2^(c-1)×5^(d-1)=1取对数(a-1)lg2+(b-1)lg5=(c-1)lg2+(d-1)lg5=0(a-1)lg2+(b-1)lg5=0lg2/lg5=-(b-1)/(a-1)=(c-1)lg2+(d-1)lg5=0lg2/lg5=-(d-1)/(c-1)所以-(b-1)/(a-1)=-(d-1)/(c-1)(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)供参考答案2:由2^a*5^b=2^c*5^d=10得2^（a-1）*5^（b-1）=2^（c-1）*5^（d-1）=1取对数得ln[2^（a-1）*5^（b-1）]=（a-1）ln2+（b-1）ln5=0即（a-1）ln2=-（b-1）ln5（1）ln[2^（c-1）*5^（d-1）]=（c-1）ln2+（d-1）ln5=0即（c-1）ln2=-（d-1）ln5（2）由（1）（2）联立得证

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