已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|. (1)求函数f(x)的最小值; (2)已知k为非零常数,若不等式|t-k|+|t+k|大于等于|k|f

已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|.(1)求函数f(x)的最小值;(2)已知k为非零常数,若不等式|t-k|+|t+k|大于等于|k|f(x)对于任意t属于R恒成立,求实数x的取值集合.

1. x<1时, f(x)=1-x+2-x=3-2x <1
1<x<2时, f(x)=x-1+2-x=1
x>2时,f(x)=2x-3 >1
所以f(x)的最小值为 1

2. 因为k为非零常数,所以 |t-k|+|t+k|≥|k|f(x) 可以化为
|t/k-1|+|t/k+1|≥f(x)

令c=t/k ,因为t属于R 那么c也属于R

所以不等式化为: |c-1|+|c+1|≥f(x) 对任意c 恒成立
考量函数g(x)=|x-1|+|x+1|
x<-1时, g(x)=-2x >2
-1<x<1时,g(x)=2
x>1时,f(x)=2x >2
分别画出 函数g(x)和f(x) ,知道交点为(1/2,2)
所以当x>=1/2 时, |x-1|+|x+1|≥f(x) 恒成立
也就是|c-1|+|c+1|≥f(x) 对任意c 恒成立
也就是|t-k|+|t+k|大于等于|k|f(x)对于任意t属于R恒成立

e

第一问，可以分段讨论，x<1,1≤x≤2，x＞2，每段可以去掉绝对值比较，容易得出1≤x≤2上最小值是1

第二问，|t-k|+|t+k|≥2|k|≥|k|f(x)，f(x)≤2

继续分段讨论，可知1/2≤x≤2/5

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