三角形ABC，BE平分角B交AC于E，DC平分角C交AB于D，DE中点P分别垂直AB、BC、CA于M，Q，N求PQ=PM+PN
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解决时间 2021-02-09 02:47
- 提问者网友：疯子也有疯子的情调
- 2021-02-08 06:57
三角形ABC，BE平分角B交AC于E，DC平分角C交AB于D，DE中点P分别垂直AB、BC、CA于M，Q，N求PQ=PM+PN
最佳答案
- 五星知识达人网友：一把行者刀
- 2021-02-08 08:27
过D作BC、AC的垂线分别交BC、AC于F、G；再过E作BC、AB的垂线分别交BC、AB于H、I。
∵DF⊥BC，EH⊥BC，PQ⊥BC，∴DF∥EH∥PQ，∴DEHF是梯形，又PD＝PE，
∴PQ是梯形DEHF的中位线，∴PQ＝（DF＋EH）/2。
由角平分线性质，有：DF＝DG，EH＝EI，∴PQ＝（DG＋EI）/2。
容易证得：PM、PN分别是△DEI、△DEG的中位线，∴DG＝2PN，EI＝2PM。
∴PQ＝PM＋PN。
∵DF⊥BC，EH⊥BC，PQ⊥BC，∴DF∥EH∥PQ，∴DEHF是梯形，又PD＝PE，
∴PQ是梯形DEHF的中位线，∴PQ＝（DF＋EH）/2。
由角平分线性质，有：DF＝DG，EH＝EI，∴PQ＝（DG＋EI）/2。
容易证得：PM、PN分别是△DEI、△DEG的中位线，∴DG＝2PN，EI＝2PM。
∴PQ＝PM＋PN。
全部回答
- 1楼网友：傲气稳了全场
- 2021-02-08 08:36
你好！
过点D作DF1⊥BC交BC于点F1，作DF2⊥AC交AC于点F2，
过点E作EO1⊥BC交BC于点O1，作EO2⊥AB交AB于点O2，
因为DC平分角C交AB于D，
所以DF1＝DF2，
因为P是DE中点，
所以2PE＝DF2，2PQ＝DF1＋EO1，
同理可得2PM＝EO1＝EO2，
所以2PQ=2PM+2PN，
即PQ=PM+PN
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