已知数列{an},满足a1=1,a2=2...a5=5 当n>=5时，a(n+1)=(a1a2...an)-1,若bn=a1a2..an-a1^2-a2^2-...-an^2

1)求证‘当n≥5时，b(n+1)’-bn=-1

2）求证；仅存在两个正整数m，使得a1a2....am=a1^2+a2^2+...+an^2

1.将当n>=5时bn=a1a2..an-a1^2-a2^2-...-an^2带入可得，b(n+1)-bn=a1a2..ana(n+1)-a(n+1)^2-a1a2..an=(a(n+1)+1)*a(n+1)-(a(n+1)+1)-a(n+1)^2=-1.得证。

2.第二个最后应该是am^2吧，如果是的话即证仅有两个m使得bm=0;①m<5时m=1时b1=0；②m>=5时,b5=120-1-4-9-16-25=65,又因为b(n+1)=bn-1,在n>=5上单调递减，易得仅有b(65+5)=0,即当且仅当m=65+5=70，综合①②可得仅存在两个m，m1=1,m2=70，使得a1a2....am=a1^2+a2^2+...+am^2

设cn=则cn+1/cn=an+1an+2/anan+1=an+2/an=3得an+2=3an由a1=1,a2=2得a2=2;a3=3;a4=6;a5=9;a6=18;a7=27;a8=54bn=a2n-1+a2n所以b1=3;b2=9;b3=27;b4=81 猜测bn=3的n次方用数学归纳法b1成立设bk成立bk+1= a2k+1+a2k+2=3a2k+3a2k+1=3bk得证所以bn=3的n次方 符合通项公式 得证

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