欲做一个容积为V的无盖圆柱形蓄水池 已知池底单位造价为周围造价的2倍 问蓄水池的尺寸如何设计才能使总造

欲做一个容积为V的无盖圆柱形蓄水池 已知池底单位造价为周围造价的2倍 问蓄水池的尺寸如何设计才能使总造

解：假设底面半径为r,高为h,则有

V=πhr^2
h=V/πr^2

总造价设为S，如果周围单位造价为1，则池底为2，于是有
S=2πr^2+2πhr

将 h=V/πr^2代入
则S=2πr^2+2πrV/πr^2
=2πr^2+2V/r

求导函数
S′=4πr-2V/r^2
令S′=0 求拐点
则4πr-2V/r^2=0
r=（V/2π)开三次方
因为当r→0时，S无限大
当r→+∞时，S无限大
所以r=（V/2π)开三次方,S为最小值

即，当地面半径r=（V/2π)开三次方时，蓄水池的造价最低。

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